Encontrar otra forma de hacer esta integral $\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}$

Question

Problema:

Integrar: $\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}$

Yo tengo la solución: podemos sustituir $\sqrt{x}= \cos^2t$ y continuar,

Tengo el la respuesta que es $-2\sqrt{1-x}+\cos^{-1}\sqrt{x}+\sqrt{x-x^2}+C$

Podemos hacer este problema de alguna otra manera... Gracias...

Answer 1

Un pariente de su sustitución es $\sqrt{x}=\sin\theta$. A continuación,$dx=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$.

Y $\dfrac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}=\dfrac{(1-\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}$. Tomando la raíz cuadrada, obtenemos $\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}$. Así que nuestra integral se convierte en $$\int 2\sin\theta(1-\sin\theta)\,d\theta,$$ que es bastante sencillo.

Comentario: Una especie de diversión idea es hacer una racionalización de la no-sustitución trigonométrica. Por ejemplo, podemos dejar que la $\sqrt{x}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ o, resulta que lo que es equivalente, deje $\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=t^2$. Podemos resolver simplemente para $\sqrt{x}$ (y, por tanto,$x$) en términos de $t$, y, a continuación, encontrar una expresión para $dx$. (El resultado está estrechamente relacionado con el $\tan(\theta/2)$ de sustitución.) Después de algunos cálculos, nos encontramos con que queremos $$\int -\frac{8(1-t^2)t^2}{(1+t^2)^3}.$$ Ahora en principio es todo, ya que disponemos de un procedimiento general para la integración de funciones racionales. Pero el principio y la práctica no son precisamente de la misma.

Answer 2

Con respecto al comentario de @Ethan, puede escribir el integrando como: $$\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}={\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$ $ ahora utilizando el método llamado binomio diferencial, puede derrotar ambas fracciones anteriores. Yo personalmente prefiero minas de causa de @Andre respuesta pueden ser tedioso.

Answer 3

Escriba $y = \sqrt{(1-\sqrt{x})/(1+\sqrt{x})}$. Entonces $y^2 = (1 - \sqrt{x})/(1+\sqrt{x}) = -1 + 2/(1+\sqrt{x}),$ % que $2/(1+y^2) = 1 + \sqrt{x},$y así $$x = \Bigl(\dfrac{2}{1+ y^2} - 1\Bigr)^2.$ $ así $$ y\, dx = y \, d\Bigl (\dfrac {2} {1 + y ^ 2}-1\Bigr) ^ 2 =-8 y ^ \Bigl(\dfrac{2}{1+y^2}-1\Bigr)\dfrac 2 {dy} {(1 + y ^ 2) ^ 2}. $$ la integral indefinida de cualquier función racional de $y$ puede expresarse en términos de elemental funciones de $y$, y por lo tanto la integral original, $\int y dx,$ puede expresarse en términos de funciones elementales de $y$.

Trabajando los detalles será doloroso, sin embargo, en comparación con las sustituciones basadas en trig.

Answer 4

También puede probar $\sqrt{x}=tan\theta$.

$dx=2tan\theta sec^2\theta d\theta$

$\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}=\sqrt{\frac{1-tan\theta}{1+tan\theta}}$

Que $tan\theta=y$. Entonces $dy=sec^2\theta$. Sustituyendo, tenemos

$\int{2y\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}dy}=\int{\frac{2y(1-y)}{\sqrt{1-y^2}}dy}=\int{\frac{2y}{\sqrt{1-y^2}}dy}-\int{\frac{2y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy}=I_{1}+I_{2}$

$I_{1}=-ln[\sqrt{1-y^2}]$; $I_{2}$: Que $y=sin\phi$. $dy=cos\phi d\phi$. $I_{2}=\int{2sin^2\phi d\phi}=\phi-\frac{sin2\phi}{2}=sin^{-1}y-y\sqrt{1-y^2}$

$I_{1}+I_{2}=y\sqrt{1-y^2} -ln[\sqrt{1-y^2}]-sin^{-1}y+C$. Ahora substiute $y=\sqrt{x}$.