Tengo que demostrar la siguiente afirmación, pero no estoy seguro de que mis soluciones sean correctas:
Dejemos que $f:[0,1] \rightarrow\mathbb{R}$ sea una función tal que $f(x)>0$ para todos $x\in[0,1]$ pero que, por lo demás, es arbitraria. Demostrar que existe una secuencia $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ de elementos distintos ${x_n}\in [0,1]$ tal que $$ \sum_{n=1}^{\infty}f(x_n)=\infty$$
Mi solución es la siguiente: que $A_n=\{x :f(x)>1/n\}$ . Obsérvese que para algunos $n_{\ast}\in\mathbb{N} $ tenemos $A_n\not=\varnothing$ por cada $n\geq n_\ast$ . Además, $A_n\subseteq A_{n+1}$ lo que implica $\bigcup_{i=1}^{n}A_i=A_n$ . Ya que por hipótesis $f(x)>0$ por cada $x\in [0,1]$ es fácil demostrar que $$\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=[0,1]$$ Pero esto implica que para algunos $k \in \mathbb{N}$ el conjunto $\bigcup_{i=1}^{k}A_i=A_{k}$ debe ser incontable, de lo contrario $[0,1] $ sería la unión contable de conjuntos contables y, por tanto, un conjunto contable. Pero como todo conjunto infinito contiene un conjunto contable (infinito), existe una secuencia $\{x_m\}_{m\in \mathbb{N}}$ tal que $x_m\in A_k$ por cada $m\in \mathbb{N}$ y por lo tanto $f(x_m)>1/k $ . Por lo tanto: $$\sum_{m=1}^\infty f(x_{m})\geq \sum_{n=1}^{\infty}1/k= \infty$$
