Interpretación del segundo Teorema del isomorfismo

Question

Tengo una pregunta sobre el Segundo Teorema de Isomorfismo.(En realidad mi libro se llama la primera), es decir, vamos a $G$ ser un grupo, $N$ es un subgrupo normal de $G$, y deje $H$ ser cualquier subgrupo de $G$,$ (HN)/N \cong (H/ (H \cap N))$. ¿Cuál es el principal argumento del teorema quiere decir? Entiendo que la primera homomorphism teorema (Para un homo de grupo $G_1$ a $G_2$, $G_1/ker(\phi) \cong \phi(G_1)$) básicamente intentar describe la imagen de $G_1$ mediante el uso de las particiones $ker(\phi)$. Entonces, ¿qué acerca del Segundo Teorema de Isomorfismo? Es sólo una "fórmula" como teorema ? Es $N$ siendo normal la clave de este teorema? ($H \cap N $ No es la $ker(H)$?)

Answer 1

Supongo que viene de muy natural problema.

Deje $\phi$ ser cononical homomorphism de$G$$G/N$. Deje $H$ ser cualquier subgrupo de $G$.

La pregunta es que ¿cuál es la imagen de $H$? Si $N\leq H$, entonces la respuesta es simple $\phi(H)=H/N$.

Lo que si $H$ no contiene $N$? Podemos encontrar la respuesta en dos diferentes formas y nos da una igualdad.

$1) $ imagen de $HN$ $H$ son los mismos desde $\phi(hn)=\phi(h)\phi(n)=\phi(h)$ y desde $HN$ incluye $N$, $\phi(H)=\phi(HN)=(HN)/N$

$2)$ Vamos restricción de $\phi$ $H$ $f$ $f$ es un homomorphism de$H$$G/N$. ¿Cuál es el núcleo de $f$? $Ker(f)=H\cap N$. Entonces por primera ismomorphim teorema $f(H)\cong H/(H\cap N)$.

De$1$$2$, nos han resultado deseado.

Answer 2

La intuición, en mi opinión, es la que describe dos maneras diferentes de pensar acerca de la "$H$ mod $N$." Nota el teorema es cierto incluso $N$ no es normal, solo tenemos que interptet $\cong$ de manera diferente. Cuantitativamente, el coset espacios son canónica bijection, y cualitativamente es un isomorfismo de los llamados "$H$-conjuntos", que significa conjuntos equipado con una acción del grupo de $H$ (aquí, a la izquierda de la multiplicación en cosets).

Una forma de interpretar la frase "$H$ mod $N$" es el mod de salida $H$ por la relación que los dos elementos son congruentes si están "relacionados" con un elemento de $N$ (equivalentemente, definir el mismo coset de $N$). No es posible obtener a partir de un elemento de $H$ a otro a través de un elemento fuera de $H$, por lo que todos los elementos de a $N$ fuera de $H$ son irrelevantes, por lo que la eliminación de datos superfluos, estamos realmente pensando "$H$ mod $H\cap N$" que ya se ha descrito como un coset espacio.

La segunda forma es el proyecto de $H$ en el espacio de cosets de $N$. Estos se recogen simplemente en $HN/N$.