Cuál es la conexión con el mapa cuadrático

Question

Mientras que la lectura de la Prof. Tao del blog de Wordpress. Me di cuenta de que él mencionó una función diferente

$\displaystyle\Lambda_2(n):= \sum_{d|n}\mu(d)\log^2(n/d)\ldots(\ast)$

y dijo que esta función se desvanece para números con más de dos factores primos y esto se deduce de la $x\mapsto x^2$ se desvanece después de ser diferenciado más que dos veces.

Pero, ¿cómo podemos reducir la expresión $(\ast)$ a diferenciar $x^2$? O soy yo la incomprensión de su declaración?

Aquí está el enlace para el blog.

Answer 1

¿Si tomamos la ecuación (2), $$ \sum_{n\le x} \approx \Lambda (n) x $$ así que no estamos sólo haciendo que con $\Lambda_2$?

$$ \sum_{n\le x} \approx \Lambda_2 (n) x ^ 2 $$

Ejemplos concretos:

$$\begin{align} \Lambda_2(6)&=\sum_{k=1,2,3,6}\mu(k)\log^2{\frac{6}{k}}\\ &=(\log3+\log2)^2-(\log^23+\log^22)\\ &=2\log2\log3 \end {Alinee el} $$

$$\begin{align} \Lambda_2(30)&=\sum_{k=1,2,3,5,6,10,15,30}\mu(k)\log^2{\frac{30}{k}}\\ &=(\log5+\log3+\log2)^2-(\log3+\log2)^2-(\log5+\log2)^2-(\log3+\log5)^2\\&+\log^22+\log^25+\log^23\\&=0 \end {Alinee el} $$

$\Lambda(abc\cdots d)=0$ donde $a$, $b$, $c$ etcetera son factores primeros distintos puede demostrarse usando el principio de inclusión-exclusión.