¿Cuál es la fórmula para una línea 3D?

Question

¿Al igual que contamos con la fórmula $y=mx+b$ $\mathbb{R}^{2}$, lo que sería una fórmula para $\mathbb{R}^{3}$? Gracias.

Answer 1

Aquí hay tres maneras de describir la fórmula de una línea en $3$ dimensiones. Vamos a suponer que la línea de $L$ pasa a través del punto de $(x_0,y_0,z_0)$ y está viajando en la dirección $(a,b,c)$.

Formulario De Vector

$$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c)$$

Aquí $t$ es un parámetro que describe un punto particular en la línea de $L$.

Paramétrico De Forma

$$x=x_0+ta\\y=y_0+tb\\z=z_0+tc$$

Estos son, básicamente, las ecuaciones que resultan de las tres componentes del vector de la forma.

Simétrica Forma

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

Aquí asumimos $a,b,$ $c$ son todos distintos de cero. Todo lo que hemos hecho es resolver las ecuaciones paramétricas para $t$ y el conjunto de todos ellos iguales.

Answer 2

Puede describir una línea en el espacio como la intersección de dos planos. Así, $$\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \text{ and } a_2x+b_2y+c_2z=d_2\}.$ $ como alternativa, puede utilizar la notación de vector para describir como $$\vec{p}(t) = \vec{p}_0 + \vec{d}t.$ $

Utilizado esta relación para generar esta imagen:

Esto es en gran medida un tema que aprenderá en un curso de cálculo tercer semestre, al menos en los Estados.

Answer 3

Le estoy dando un ejemplo. Sea $A(-2,0,1),~~B(4,5,3)$ dos puntos en $\mathbb R^3$. Y $C$ el punto final para el vector que se obtiene de la orrigin. Además, asumimos que este vector tiene la misma dirección que el vector $AB$. Así que tenemos sus coordenadas es $(4,5,3)-(-2,0,1)=(6,5,2)$. Por lo tanto la ecuación de la línea pasando por $A$ y $B$ es %#% $ #%