¿Teorema de Jordania-soporte para los módulos?

Question

Deje $A$ ser finito dimensionales álgebra a través de algunas de campo $k$.

Creo que desde el Jordán-Titular Teorema, uno puede ser capaz de reclamar que cada simple $A$-módulo se produce en la serie (con esto quiero decir que es isomorfo al cociente de dos sucesivas submódulos en la composición de la serie).

Yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar con las siguientes preguntas.

1. Es mi pensamiento verdadero (acerca de la ocurrencia de módulos sencillos)?

2. Es posible tener dos (posiblemente) diferentes, pero isomorfo cocientes en la composición de la serie? En otras palabras, es posible que un simple módulo de ser isomorfo a más de un cociente de las sucesivas submódulos en la composición de la serie.

Quiero concluir, a partir de las preguntas anteriores, si existe una relación entre la longitud de una composición de la serie y el número de clases de equivalencias de simple $A$- módulos?

**Por módulos I media izquierda $A$-módulos y por una serie me refiero a la composición de la serie de $A$.

Answer 1

Para 1

Sí, es cierto. El truco es recordar que el simple módulos de $A$ son los mismos que los módulos sencillos de $A/J(A)$ donde $J(A)$ es el Jacobson radical de $A$.

Desde $A$ es un finito dimensionales álgebra, es un derecho y a la izquierda Artinian y Noetherian anillo. Como tal, tiene una composición como un módulo de la izquierda sobre sí mismo (y como un derecho en el módulo en sí.) Si podemos mostrar que cada factor simple ya aparece en una composición de la serie para $A/J(A)$, entonces sólo tiene relación con la composición de la serie para $J(A)$ y obtener una composición de la serie para $A$ que contiene copias de todos los isotipos de módulos sencillos en sus factores.

Ahora $A/J(A)$ es un anillo semisimple, y todos los isotipos aparecen como factores en la composición de la serie para $A/J(A)$. Puede usted ver por qué esto es así?

Un enfoque básico para demostrar esto sería recordar que todos los isotipos de simple a la izquierda $A/J(A)$ módulos de aparecer como mínimo los ideales de la izquierda. Eso aclara en que aparecen en la descomposición de la $A/J(A)$ en una suma directa de módulos sencillos. Quitando un sumando en un tiempo, puede producir una composición de la serie que muestra todos los isotipos en sus factores de composición.

Para 2

Seguro, isotipos puede ocurrir varias veces, y usted puede haber notado ya esta si ya se ha llevado a cabo el último párrafo. Tome un anillo semisimple $R$ y se descomponen en simple a la izquierda $R$ módulos: $R=S\oplus S'\oplus T$ donde $S\cong S'$ son isomorfos simple a la izquierda ideales y $T$ es otra a la izquierda ideal nonisomoprhic a$S$$S'$. Entonces esta es una composición de la serie:

$$ \{0\}\subseteq S\subseteq S\oplus S'\subseteq S\oplus S'\oplus T=R $$

Los dos primeros factores son isomorfos.

Para la pregunta final

Sí: su instinto es el adecuado. De esto se deduce que la composición de la longitud de $A$ es limitada, desde abajo, por el número de los distintos isotipos de simple $A$ módulos. Si usted dice una composición de la serie $\{0\}=S_0\subseteq\ldots\subseteq S_n=A$ tiene una longitud de $n$, $n$ es mayor o igual que el número de los distintos isoclasses.