¿Cuyo poder establece conjuntos tienen la misma cardinalidad, tienen la misma cardinalidad?

Question

Posible duplicado:
poder establece igualdad cardinal

Que $X$ $Y$ se establece y supone que $|\mathscr{P}(X)| = |\mathscr{P}(Y)|$ (donde $\mathscr{P}$ denota el conjunto de energía).

¿Sigue que $|X|=|Y|$?

Comentario: Es obviamente cierto para conjuntos finitos, como $2^m=2^n$ $m=n$.

Answer 1

Esta afirmación no es demostrable en ZFC (si ZFC es consistente, que es). Si ZFC es consistente, entonces tiene un modelo en el que esta afirmación es verdadera, por ejemplo en la de Gödel edificable universo. Sin embargo, obligando podemos hacer la siguiente verdad:

$$2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\aleph_2$$

Lo que es una clara contradicción con la afirmación de que $\kappa\mapsto 2^\kappa$ es inyectiva (esta función es llamada la continuidad de la función).

Vale la pena mencionar Easton teorema que nos dice que ya bastante podemos modificar el comportamiento de la continuidad de la función mientras se conservan las propiedades básicas de esta función (por ejemplo, $\kappa<\lambda$$2^\kappa\leq 2^\lambda$).

Esto significa que podemos tener la afirmación de que la continuidad de la función es inyectiva fallar en todas partes; lo podemos tener fallando unboundedly alta; podemos tener es verdad unboundedly alta Y fallar unboundedly de alta...