Si $\gcd(a,b) = p$, un primo, ¿cuáles son los posibles valores de $\gcd(a^2,b)$ y $\gcd(a^3,b)$?
A través de ejemplos he podido encontrar la respuesta, pero no sé cómo idear una prueba.
Actualización: Creo que el MCD de bien es $p^2$, pero esto es sólo por ejemplos de trabajo.
No estoy familiarizado con mucha teoría del número. Apenas he empezado la segunda parte de mi libro de texto, así que todo lo que sé es sólo Divisibilidad y números primos.
Usted no tiene información suficiente para responder de forma inequívoca. Lo más que podemos decir es que el $\mathrm{gcd}(a^2,b)$ es $p$ o $p^2$, e $\mathrm{gcd}(a^3,b)$ es uno de $p$, $p^2$, y $p^3$.
Por suponga $\mathrm{gcd}(a,b)=p$. Entonces existen enteros $x,y$ tal que $ax+by=p$, por lo que (el cuadrado de esta expresión) $a^2x^2+b(2axy+by^2)=p^2$, mostrando que una combinación lineal de $a^2,b$ con coeficientes enteros es $p^2$, lo que implica que $\mathrm{gcd}(a^2,b)$ divide $p^2$. Desde $\mathrm{gcd}(a,b)$ divide cualquier combinación de $a,b$ y por lo tanto de $a^2,b$, $p$ divide $\mathrm{gcd}(a^2,b)$.
Ahora: $\gcd(p,p^2)=p$$\gcd(p^2,p^2)=p^2$, así que sin duda $p^2$ es posible. Por otro lado, $\gcd(p,p)=p$$\gcd(p^2,p)=p$, lo $p$ es posible.
Un análisis similar, con ejemplos similares, da el resultado de $\mathrm{gcd}(a^3,b)$.
Supongamos $\gcd(a,b)=p$ es primo. A continuación, tanto en $a$ $b$ son divisibles por $p$ al menos una vez, y al menos uno de los dos es divisible por $p$ sólo una vez, es decir, por $p$, pero no por $p^2$. Así que supongamos $a=pn$ donde $n$ no es divisible por $p$, e $b=p^{50}m$. A continuación,$\gcd(a^2,b)=p^2$$\gcd(a^3,b)=p^3$, etc.
Pero no se supone $a=pn$ $b=pm$ donde $n,m$ no son divisibles por $p$. A continuación,$\gcd(a^2,b)=\gcd(a^3,b)=p$.
También si $a=pn$ donde $n$ no es divisible por $p$, entonces es posible que $\gcd(a^2,b)=\gcd(a^3,b)=p^2$. Usted debe ser capaz de averiguar lo que tendría que ser verdadero de la factorización de $b$ para que eso suceda.
Recordemos que los números enteros puede ser un factor de forma exclusiva en un producto de números primos, así que podemos escribir $a=p_1^{d_1}\cdots p_m^{d_m}$ $b=q_1^{e_1}\cdots q_n^{e_n}$ cuando la $p_i$ $q_i$ son primos. Por reetiquetar, podemos asumir que $p_1=q_1,\ldots,p_k=q_k$ y el resto de los factores primos son distintos ($k$ podría ser $0$). Uno muy bonito consecuencia de la única factorización es $$\gcd(a,b)=p_1^{\min(d_1,e_1)}\cdots p_k^{\min(d_k,e_k)}.$$ Desde $\gcd(a,b)=p$, sabemos que $k=1$, $p_1=p$ y $\min(d_1,e_1)=1$. Tenga en cuenta que el factorizations de $a^2$ $a^3$ $p_1^{2d_1}\cdots p_m^{2d_m}$ $p_1^{3d_1}\cdots p_m^{3d_m}$ respectivamente, por lo que tenemos $$\gcd(a^2,b)=p^{\min(2d_1,e_1)} \text{ and } \gcd(a^3,b)=p^{\min(3d_1,e_1)}.$$ Tenga en cuenta que si $e_1$ es lo suficientemente grande, estas son las $p^2$ $p^3$ respectivamente, pero si $e_1=1$ se $p$ e si $e_1=2$, en tanto se $p^2$. Por lo tanto las posibilidades son $p,p^2$$p^3$.
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