Evaluar la integral con la parte entera

Question

Tengo que evaluar $$\int _0^2\:\frac{x-\left[x\right]}{2x-\left[x\right]+1}dx$$

Dónde $[x] = floor(x)$

Suelo escribirlo así, pero creo que se me escapa la idea $x = 2$

$$\int _0^2\:\frac{x-\left[x\right]}{2x-\left[x\right]+1}dx=\int _0^1\:\frac{x}{2x+1}dx+\int _1^2\:\frac{x-1}{2x}dx = 1 - \frac{1}{4} \cdot \ln 3$$

La respuesta correcta es $1 - \frac{1}{4} \cdot \ln 12$

Answer 1

Así es, el valor en los extremos del intervalo es irrelevante, siempre que la función pueda extenderse por continuidad en los puntos extremos. Habría condiciones más relajadas, pero en este caso es suficiente.

Sin embargo, $$ \int_0^1\frac{x}{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{2x+1-1}{2x+1}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[x-\frac{1}{2}\ln(2x+1)\Bigr]_0^1= \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\ln 3\right) $$ y $$ \int_1^2\frac{x-1}{2x}\,dx= \frac{1}{2}\int_1^2\left(1-\frac{1}{x}\right)dx= \frac{1}{2}\Bigl[x-\ln x\Bigr]_1^2=\frac{1}{2}(2-\ln2-1) $$ por lo que su integral es $$ \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\ln3+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln2=1-\frac{1}{4}\ln12 $$