Espacio de moduli fino y curvas modulares

Question

Estoy un poco confundido sobre la definición de los espacios de módulos finos. Según tengo entendido, la diferencia entre el espacio de moduli fino y el espacio de moduli grueso es la existencia de una familia universal. Para el espacio de moduli fino, supongamos que $U\to M$ es la familia universal, entonces dada cualquier familia $X\to B$ existe un morfismo único $B\to M$ de tal manera que tenemos un $B$ -isomorfismo $\alpha: X\to B\times_M U$ . Es $\alpha$ ¿también debe ser único?

Por un lado, considero que la exigencia de $\alpha$ ser único es algo antinatural. Cuando consideramos $M$ como un functor representable de la categoría de esquemas a la de conjuntos, es natural enviar una base $B$ a la clase isomorfa de las familias. Por otro lado, aquí es una prueba de nlab que muestra la $j$ -la línea no es un espacio de moduli fino. No veo dónde surgen las contradicciones si $\alpha$ no es necesario que sea único.

En general, la curva modular $X_0(N)$ no es un espacio de moduli fino para cualquier $N$ . Me pregunto si el hecho de que $-1$ es un automorfismo de cualquier familia tiene algo que ver con este resultado.

Answer 1

Estoy trabajando en la categoría de esquemas sobre algún campo fijo algebraicamente cerrado $k$ . Dejemos que $M$ sea un espacio de moduli putativo para las clases de isomorfismo de las curvas elípticas. Supongamos que existe una familia $X \to S$ de curvas elípticas tal que todas las fibras $X_s$ son isomorfas a la misma curva $E/k$ para puntos cerrados $s \in S$ pero de manera que $X$ no es a su vez isomorfo a $S \times E$ . Es fácil demostrar que esa familia existe (por ejemplo, tomar $y^2 = x^3 + t$ sobre el afín $t$ -línea menos el origen).

A continuación, hay un mapa $f: S \to M$ tal que $X$ es el pullback de la familia universal putativa. Tradicionalmente, se concluye aquí que todo punto cerrado de $S$ debe asignarse al mismo punto de $M$ (el correspondiente a $E$ ) y así $S$ se mapea en un solo punto. Esto es una contradicción ya que la familia trivial $S \times E$ mapas hacia el mismo punto.

Sin embargo, el argumento de que $S$ debe mapear a un punto utiliza la unicidad del mapa Spec $k \to X$ correspondiente a la curva elíptica $E$ sobre Spec $k$ , que es el requisito que desea abandonar.

Si dejamos de lado el requisito de la unicidad, obtenemos un "espacio de módulos" -aquí hay un ejemplo de uno-, basta con tomar la unión disjunta de todas las bases de las familias de curvas elípticas, junto con la obvia familia universal (de acuerdo, hay problemas de teoría de conjuntos aquí, pero se pueden resolver). La cuestión es que tal cosa no es terriblemente única, ya que ¿por qué no tomar dos copias de cualquier familia particular? Para un functor dado $F$ , una vez que has dejado de preguntar eso $F(X) = \text{Hom}(X, Y)$ para algunos $Y$ sino que sólo se exige que haya una suryección de funtores $\text{Hom}(\text{_}, Y) \to F$ has renunciado al lema de Yoneda, que es el que da la unicidad de $Y$ . Nótese que ni siquiera se obtiene la unicidad hasta el isomorfismo.

Para la segunda pregunta - tienes razón - los automorfismos son la obstrucción a la existencia del espacio de moduli fino - pensando topológicamente, el ejemplo anterior es tomar un haz de curvas sobre el plano complejo puntuado (= línea afín puntuada) tal que al dar la vuelta al círculo, se cambia por el automorfismo.