Aproximación al seno de Bhaskara

Question

Un matemático indio, Bhaskara I, dio la siguiente asombrosa aproximación del seno (he comprobado la gráfica y algunos valores, y la aproximación es realmente impresionante).

$$\sin x \approx \frac{{16x\left( {\pi - x} \right)}}{{5{\pi ^2} - 4x\left( {\pi - x} \right)}}$$

para $(0,\pi)$

Aquí hay una imagen. Cian para el seno y azul para la aproximación.

¿Existe alguna forma de demostrar dicha aproximación racional? ¿Existe alguna teoría similar a la de Taylor o a la de las series de potencia para las aproximaciones racionales?

Answer 1

Esto está muy cerca de un aproximante de Padé, y en este caso la fórmula es lo suficientemente simple como para que sea fácil de derivar. En primer lugar, sabemos que $\sin(x)$ es $0$ en $x=0, x=\pi$ esto sugiere una refundición en términos de la variable $y=x(\pi-x)$ . Lo que buscamos es una aproximación racional de primer orden $\sin(x) = f(y) = \frac{ay+b}{cy+d}$ ya que sabemos que $f(y) = 0$ en $y=0$ (es decir, como $x$ se acerca a $0$ o $\pi$ ) entonces el término constante en el numerador es $0$ y después de dividir la aproximación toma la forma $\frac{y}{a+by}$ .

Ahora, ciertamente queremos que nuestra aproximación dé $\sin(\pi/2) = f(\pi^2/4) = 1$ Esto significa $\displaystyle{\frac{\pi^2/4}{a+b\pi^2/4}} = 1$ o $4a+b\pi^2 = \pi^2$ o $a=\frac{1-b}{4}\pi^2$ . La otra relación entre $a$ y $b$ presumiblemente proviene de tratar de igualar la derivada en $0$ , $\left.d(\sin(x))/dx\right|_{x=0} = 1$ la condición para esto se puede escribir fácilmente en términos de $df/dy$ en $y=0$ . Me ahorraré la aritmética (a menos que alguien tenga mucha curiosidad), pero el resultado es el siguiente $a=\pi$ Esto daría $b=(\pi-4)/\pi$ y la aproximación global $f(y) = \frac{\pi y}{\pi^2+(\pi-4)y}$ pero en su lugar la fórmula utiliza una segunda aproximación fijando $a=5\pi^2/16$ que (gracias a la primera relación) da un valor racional de $b$ (y de hecho, el valor "bonito $1/4$ ). Esta aproximación equivale a decir que $5\pi^2/16\approx\pi$ o, en otras palabras, que $\pi\approx 16/5 = 3.2$ significa un ligero error en la pendiente de la aproximación a $x=0$ pero es una compensación justa por la facilidad de cálculo que se obtiene.

Answer 2

Escribir $x = \pi/2 + \pi t$ la aproximación se convierte en $\cos(\pi t) \approx \frac{1-4t^2}{1+t^2} = 1 - 5 t^2 + O(t^4)$ . De hecho $\cos(\pi t) = 1 - \frac{\pi^2}{2} t^2 + O(t^4)$ pero $\pi^2/2 \approx 4.9348$ no está lejos de $5$ . En términos de aproximación uniforme a $\cos(\pi t)$ para $t \in [-1/2, 1/2]$ , $\frac{1 - 4 t^2}{1+1.0043 t^2}$ sería algo mejor.

Answer 3

• Aquí hay un artículo que está escrito por Shailesh Shirali. Por desgracia, mi universidad no tiene acceso a él.

• Aquí hay uno más artículo.

Answer 4

Esta es una visualización bastante clara de cómo se puede construir, probar y entender la aproximación de manera intiutiva.

La totalidad de prueba con video y la explicación.