holonómico D-módulos

Question

Estoy tratando de desarrollar una intuición acerca de holonomic D-módulos y encontrar la literatura formidable (I estudio de la física). Mi pregunta es, dado un operador diferencial lineal en n-variables, $x=(x_1,...,x_n)$ (usando multi-índice de notación), $ P(x,D)=\sum_{\alpha}^m P_\alpha(x)D^\alpha$ con coeficientes polinomiales, $P_\alpha(x)$, ¿cuáles son los holonomic módulos que pueden ser asociados a este operador?

Yo sé que para $n=1$ cada operador define un holonomic D-módulo, por lo que hay un algoritmo simple, por ejemplo, en $n=2$ que determinar de inmediato si el operador es holonomic o no?

Answer 1

Una sola PDE en $n > 1$ variables no pueden ser holonomic. La variedad característica de un D-módulo definido por uno de la PDE es sólo la desaparición de locus de su principal símbolo, considerada como una función en la cotangente del paquete. Un D-modulo es holonomic cuando su variedad característica es de Lagrange, o, equivalentemente, tiene dimensión igual a su codimension.

En este caso, la cotangente del paquete es $\mathbb{R}^{2n}$ y el principal símbolo es $$P(x,y) = \sum_{\alpha}^m P_{\alpha}(x)y^{\alpha},$$ where $y_1,\cdots,y_n$ are new variables. The vanishing locus of $P(x,y)$ has codimension $1$, so for $n > 1$ cannot have (co)dimension $$ n, que es el holonomicity condición.