Existe una versión de simetría de espejo, llamada "simetría de espejo local", para ciertos Calabi-Yaus no compactos, por ejemplo el espacio total del haz canónico de P^2 (ejercicio: mostrar que esto es CY). El espejo (o más bien un posible espejo) de este Calabi-Yau no compacto es una curva elíptica afín en (C^*)^2. No creo que exista todavía una versión de simetría de espejo para CYs no compactos más generales, aunque no sé demasiado sobre esta historia. En todos los artículos que he visto sobre este tema al menos, los únicos CYs no compactos que se han considerado en la simetría de espejo hasta ahora son espacios totales de paquetes vectoriales sobre cosas compactas (probablemente Fano).
Supongo que probablemente deberíamos obtener algún tipo de "simetría de diamantes de Hodge" en simetría de espejo local, pero la historia se vuelve más complicada. Una cosa inmediata a notar es que, al menos en el ejemplo que he dado, las dimensiones de los colectores no son las mismas! Así que las cosas tendrán que ser modificadas.
La simetría del diamante de Hodge en simetría de espejo para la compacta Calabi-Yau debería pensarse realmente como procedente de una correspondencia entre ciertas deformaciones de una Calabi-Yau y ciertas deformaciones de su espejo. En el caso no compacto, las deformaciones que debemos considerar serán algo diferentes de las deformaciones que debemos considerar en el caso compacto.
Un punto de vista algo reciente, debido a Kontsevich, es que esta correspondencia entre las deformaciones se puede obtener de la simetría homológica de los espejos. En la simetría de espejo homológica para los colectores compactos de Calabi-Yau, consideramos una categoría derivada de las poleas coherentes en un lado y una categoría de Fukaya en el otro lado. Entonces deberíamos tener una equivalencia de categorías, más una equivalencia de una cierta estructura en sus cohomologías Hochschild - en particular sus cohomologías Hochschild deberían ser equivalentes al menos como espacios vectoriales. Estas cohomologías de Hochschild deberían ser pensadas como los espacios de deformación apropiados (¿o tal vez más bien los espacios tangentes a los espacios de deformación apropiados?), y una identificación apropiada de las cohomologías de Hochschild (más la estructura extra que mencioné) debería dar en particular la simetría del diamante de Hodge. También debería haber simetría de espejo homológica para los colectores no compactos de Calabi-Yau, pero debemos definir los análogos de la categoría derivada y la categoría de Fukaya en esta situación de manera apropiada. Luego debe haber una historia análoga sobre las cohomologías de Hochschild de las categorías, y un análogo apropiado de la simetría del diamante de Hodge. Véase el documento "Aspectos teóricos de la simetría de los espejos de Hodge" de Katzarkov-Kontsevich-Pantev para más detalles.
