5 votos

Reducibilidad, centros y representaciones fieles

Tomar todos los campos algebraicamente cerrado. Mostrar que si $G$ es un grupo finito con trivial centro y $H$ es un subgrupo de $G$ no triviales centro, entonces cualquier representación fiel de $G$ es reducible después de la limitación de $H$

Creo que la tengo, pero me gustaría que alguien revise mi respuesta.

Deje $ \rho : G \to \mathrm{GL}(V)$ ser una representación fiel, donde $G$ es finito con trivial centro y donde $V$ $k$- espacio vectorial donde $k$ es algebraicamente cerrado. Entonces la restricción $\theta = \rho \big|_H : H \to \mathrm{GL}(V)$ es una representación fiel de $H$. Supongamos que esta representación irreducible. Tenemos algunos $ e \neq z \in Z(H)$, y por lo $\theta(z) \in \mathrm{Hom}_H(V,V)$. Por Schur del Lexema, esto significa que $\mathrm{dim} \ \mathrm{Hom}_H(V,V) = 1$, y por lo $\theta(z) =\lambda \mathrm{id}_V$ para algunos para algunos $\lambda \in k \backslash \{1\}$ ($\lambda \neq 1$, ya que la representación es fiel). Desde $\rho$ es fiel a $G \cong \mathrm{Im}(\rho)$, pero $Z(\mathrm{Im}(\rho)) \ni \theta(z) = \rho(z) \neq \mathrm{id}_V$, y por lo $z \in Z(G)$. La contradicción se establece el resultado.

Gracias!

2voto

markedup Puntos 505

Tu argumento es correcto.

Apenas un poco Comentario: la frase "Lema de Schur, quiere decir que $\mathrm{dim} \mathrm{Hom}_H(V,V) = 1$" es un poco confusa, ya que "esto" no se refiere a la declaración anterior. Más bien, el hecho sobre hom dim sigue desde su asunción de irreductibilidad y no por el hecho de que $\theta(z)\in \mathrm{Hom}_H(V,V)$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X