en la Nube

Question

Estoy tratando de encontrar a %#% $ #%

Sobre lo único que puedo pensar es la conocida identidad

$$ \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{-\pi}^\pi e^{-x^2} \cos(nx) dx. $$

Pero esto no parece simplificar mucho las cosas.

Answer 1

Debido a que $e^{-x^{2}}$ es una función incluso, la serie de Fourier para $e^{-x^{2}}$ es $$ e ^ {-x ^ {2}} \sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^2}dt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^{2}}\cos(nt)dt\cos(nx). Evaluación de $$ $x=0$ da lo que quieras: $$\begin{align} 1 & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^{2}}dt+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^{2}}\cos(nt)dt \\ & = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-x^{2}}\cos(nt)dt \end {Alinee el} $$ parece que la respuesta es $2\pi$.

Answer 2

Bueno, hubo dos respuestas sólidas publicadas. Por lo tanto, vamos a intentar que este usando la serie de Fourier compleja.

Tenemos

$$e^{-x^2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{inx}\tag 1$$

donde

$$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^2}e^{-int}dt \tag 2$$

Utilizando $(2)$ $(1)$ $x=1$ producciones

$$1=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^2}e^{-int}dt \tag 3$$

con lo cual multiplicando ambos lados de $(3)$ $2\pi$ y explotando el hecho de que la función seno es impar revela

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{2\pi=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-t^2}\cos (nt)\,dt }$$

Answer 3

$f(x)=e^{-x^2}$ es una función que pertenece al espacio de Schwarz, y su serie de Fourier uniformemente convergente a $f(x)$. Por lo tanto, si establecemos: %#% $ de #% tenemos: $$ c_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)\,dx $ $ y: $$ e^{-x^2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx + \sum_{n\geq 1} c_n \cos(nx) $ $ como: $$ \sum_{n\geq 1}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx = \pi\sum_{n\geq 1}c_n=\pi\, f(0)-\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx $ $

También se deduce la convergencia en la distribución del núcleo de Dirichlet a la función delta de Dirac .