Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación: $$\int_0^{f(x)}f(t)dt=g(x)$$ Diferenciando bajo la integral obtengo: $$f[f(x)]\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}g(x)$$ Conozco la función $g(x)$ . ¿Existe una forma sencilla de encontrar la función $f(x)$ ? ¿Es posible encontrarla sin la regla de la derivada bajo integral? Gracias de antemano.
Respuesta
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Consideremos el siguiente cambio de variable en la integral
$$z=f^{-1}(t)$$
entonces
$$dz=\frac{d}{dt}f^{-1}(t)dt.$$
Uno tiene
$$\int_{f^{-1}(0)}^x f[f(z)]\left[\frac{d}{dt}f^{-1}(t)\right]^{-1}_{t=f(z)}dz=\int_{f^{-1}(0)}^x f[f(z)]\frac{d}{dz}f(z)dz=g(x)$$
que es equivalente a la ecuación diferencial que das. Pero esto permite utilizar la integración por partes dando
$$f[f(x)]f(x)-\int_{f^{-1}(0)}^x f(z)\frac{df[f(z)]}{dz}\frac{df(z)}{dz}dz=g(x)$$
y se puede repetir el procedimiento para obtener
$$f[f(x)]f(x)-[f(x)]^2\frac{df[f(x)]}{dx}+\int_{f^{-1}(0)}^x f(z)\frac{d}{dz}\left\{f(z)\frac{df[f(z)]}{dz}\frac{df(z)}{dz}\right\}dz=g(x).$$
Tomando esto como una serie asintótica en potencias de $f$ o simplemente despreciar las derivadas de la función $f(x)$ se obtendrá una primera solución aproximada invirtiendo la ecuación
$$f[f(x)]f(x)\approx g(x)$$
que es una ecuación funcional.
