Quiero demostrar que el siguiente problema es regular.
Bueno, la dificultad es que esto es no un problema regular de Sturm-Liouville, al menos no tal como se plantea. También hay un problema con las condiciones de contorno, pero lo discutiremos más adelante.
Escribir el problema original en su forma de Sturm-Liouville, $$ {1\over w(x)}\left[p(x){dy\over dx}\right]'+q(x)y+\lambda y(x)=0,\quad a<x<b,\tag{1} $$ vemos $p(x)=x$ , $q(x)=0$ , $w(x)={1\over x}$ . Dado que las condiciones de contorno se especifican en $x=0$ y $x=e$ el intervalo aquí es $0<x<e$ . Para que este problema sea regular, necesitamos $p,q,w,p'$ continua en $[0,e]$ y $w(x)={1\over x}$ no cumple esta condición. Así que el problema no es regular.
Sin embargo, aún se puede salvar el espíritu del problema: singular Los problemas de Sturm-Liouville pretenden relajar las hipótesis sobre las funciones $p,q,w$ y/o el intervalo $[a,b]$ preservando al mismo tiempo las propiedades cualitativas importantes de la solución del problema. He aquí una formulación pertinente de esta noción aplicable a tu problema:
(1) es singular si $p,q,w,p'$ son continuas en $a<x<b$ pero $p$ , $q$ o $w$ se hace infinito en un punto final.
Dado que el intervalo es $0<x<e$ y $w(x)={1\over x}\to\infty$ como $x\to 0^+$ , este es un singular Problema S-L.
Así que o bien hay que apelar a esta noción de problemas S-L singulares o bien hay que estudiar el problema en un intervalo alejado de cero.
Por último, las condiciones de contorno indicadas no tienen sentido, ya que están especificando tres condiciones para un problema de segundo orden. Tal vez sólo quiera $y(0)=y(e)=1$ sin la otra condición? En tal caso, la condición de contorno en el extremo singular suele sustituirse por una condición de acotación allí, como por ejemplo $$ y(x),y'(x)\text{ bounded as }x\to 0^+. $$
Para conocer todos los detalles de este debate, un libro como el de Zettl Teoría de Sturm-Liouville es apropiado.
