3d TQFT (topológico-cuántica del campo de la teoría), se asocia un número a una cerrada orientada a la 3-colector, un espacio vectorial de una superficie de Riemann, una categoría a un círculo, y un 2-categoría a un punto.
Este es correctamente bien conocidos en la categoría de teoría. He aprendido de aquí.
Quiero tener a alguien para compartir su explicación física y su mejor comprensión acerca de esta declaración.
Supongo que la más tenue de generalización es lo Urs Schreiber se describe el uso de codimension de la superficie. He leído el Phys.SE post: acerca de-la-atiyah-segal-axiomas-en-TQFT, pero no le importaría que alguien comienza desde lo más básico.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Quizá hay tres etapas diferentes para distinguirse y ser entendido aquí:
primero: tal vez parte de la pregunta es ¿por qué un $n$-dimensiones QFT debe asignar números a cerrado $n$-dimensiones de los colectores, y el vector de espacios cerrados $(n-1)$-dimensiones de los colectores. Eso es lo que me han respondido en ese otro debate vinculado anteriormente: el vector espacios asignados son sólo los espacios de estados cuánticos asignado a un espaciales hyperslice de espacio-tiempo, los números asignados a cerrado $n$-dimensional de piezas de spacetimes son las funciones de partición y, en general, lineal mapas asignado a $n$-dimensional de piezas de espacio-tiempo con límite son el quantum propagadores (el correlators, la S-matrix) que se propagan a los entrantes de los estados a los salientes de los estados.
segundo: la pregunta es por qué uno querría para refinar esta asignación ("Atiyah-Segal-tipo de QFT") a algo que también asigna a $(n-k)$-dimensional de piezas de espacio-tiempo, para todos los $0 \leq k \leq n$. La respuesta a esto es que se soluciona de esta forma lo que en física se conoce como el "problema de la covariante de cuantización". Es decir, la asignación de espacios vectoriales de los estados espacial hyperslices a priori significa romper el diffeomorphism la invariancia de la teoría del campo, después de todo lo que implica la elección de estos espacial hyperslices y la asignación de los datos a ellos de una manera que no es una antes de construir covariantly.
El punto de "extended TQFT" es para resolver este "problema de la covariante de la cuantización de la teoría de campo", por cumplir que los espacios de estados cuánticos que son asignados a codimeninson-1 espaciales hyperslices surgir de encolado de datos locales. Es la localidad principio de la teoría cuántica de campos, por la cual cada cesión global debe ser reconstructible de encolado de las asignaciones locales.
Matemáticamente esto es donde las categorías superiores vienen en: donde el ordinario de la categoría de espacios vectoriales sabe sobre espacios vectoriales lineales y mapas entre ellos, de ahí acerca de los datos de los espacios de estados cuánticos y propagadores de entre ellos, un n-categórica refinamiento de esto también sabe cómo construir espacios de estados cuánticos (que luego promovido a partir de los objetos a $(n-1)$-morfismos) a partir de datos locales (es decir, mediante la composición de $(n-1)$-morfismos a lo largo de $(n-2)$-morfismos).
Así que en resumen: la razón para pasar de Atiyah-Segal estilo QFT en el que se formaliza la cesión de los espacios de estados cuánticos espacial hypersurfaces y de lineal cuántica propagador de mapas entre ellos para piezas de espacio-tiempo para más categórica extendido QFT es aplicar plenamente la localidad principio de la teoría cuántica de campos en los axiomas.
El punto más alto de este axiomaticts es el cobordism teorema que clasifies todas totalmente local ("extended") TQFTs en un riguroso moda.
tercera: la pregunta, finalmente, es: si una $n$-dimensiones completamente local (topológico) la teoría del campo cuántico, por tanto es un n-functor $Bord_n \to \mathcal{C}$ a partir de la n-categoría de cobordisms a algunos n-categoría $\mathcal{C}$ , que en sus dos principales dimensión grados parece espacios vectoriales lineales mapas entre ellos, entonces: ¿qué debe $\mathcal{C}$ ser como en bajos grados?
Esta es en realidad la cuestión de la investigación en curso. El cobordism teorema de sí mismo permite que cualquier n-categoría con todos los duales, pero muchos de estos no se van a "mirar muy físico" de hecho.
En cualquier caso, el punto a destacar aquí es que el $\mathcal{C}$ es una elección. Quizá ... pero no ... miren como se sugirió anteriormente en la pregunta. Esto es lo que tiende a verse como para 3d TQFT de Chern-Simons teoría del tipo. El más fuerte el teorema de que el efecto ahora es, probablemente, Douglas & Schommer-Pries Y Snyder 13. Ver que hay para más.
limscoder
Puntos
1504
No puedo comentar sobre la categoría en la parte teórica, pero las ideas acerca de los "números" para una 3-variedad y espacios vectoriales a las superficies de Riemann viene naturalmente en Gromov-Witten teoría (ver aquí: http://www.math.harvard.edu/~jbland/ma273x_notes.pdf para una buena introducción).
La heurística de la receta (explicación física) es el siguiente: Tomar una cerrada simpléctica (como se hace en TQFT) colector $\Omega$. Ver mapas de las superficies de Riemann de género $g$: $R_{g}$, un buen espacio construido a partir de $\Omega$ (Como el Grassmannian $\mathbf{G}$). Ahora se pueden buscar en los módulos de la pila de todos los mapas (que yo.e, la colección de pseudo-holomorphic curvas de $\psi$ $R_{g}$ $\mathbf{G}$satisfacer algunas condiciones, llamar a esta $\mathcal{M}$). Esta módulos de la pila de $\mathcal{M}$ admite un campo de clase de teoría, i.e, tiene algunas de las relaciones de equivalencia en ella $[Z,\tilde~]$ que dice que cuando dos curvas son equivalentes. Esto es esencial, ya que las superficies de Riemann tienen algunos comportamientos extraños, si usted alguna vez ha estudiado la rama de los recortes y de las cosas que usted sabrá a qué me refiero. Lo que significa que, dado varios $g$ usted puede tener degeneraciones entre ellos.
Uno de los estudios de la intersección de la teoría en esto de los módulos de la pila y se cuenta el número de pseudo-holomorphic curvas que obedecer algunas relaciones modulo de la equivalencia de la relación de $\tilde~$. La intersección de la teoría misma produce invariantes numéricos, que son útiles para describir la naturaleza topológica del colector $\Omega$. Estas ideas son muy reminiscencia de las ideas de de Rham cohomology, que el estudio de formas diferenciales en el colector $\Omega$ a comprender mejor su topología. Este es un concepto muy importante en TQFT, ya que a uno le gustaría saber con precisión cómo "únicos", o de lo contrario sus colector de estructura. Cálculo de estos invariantes mediante integrales sobre $\mathbf{G}$ se puede hacer en un principio.
Como ejemplo, en la teoría de cuerdas, uno puede imaginar que las cadenas de diferentes tipos pueden unirse para formar diferentes estructuras topológicas, que en mayor escala que representan los diferentes tipos de partículas que observamos. Exactamente a describir todas las configuraciones posibles de cómo estas cadenas se unen es necesario analizar estos Gromov-Witten invariantes para mantener la consistencia interna (i.e, usted no puede tener una partícula que tiene dos distintas suelo del estado de los niveles de energía).
No sé si esto es muy útil a todos, pero creo que el estudio de Gromov-Witten invariantes (o Donaldson-Thomas, etc) es lo que después de aquí (ver aquí: http://ncatlab.org/nlab/show/Gromov-Witten+invariantes ).
ChemStudent
Puntos
36
Espero que esto es algo así como una declaración axiomática, puesto que los axiomas TQFT incluyen la Asociación de un Riemann superficie $\Sigma$a un espacio del vector (o un módulo) $Z(\Sigma)$ y un elemento $Z(M)\in Z(\partial M)$ % colector $M$. No incluyen referencia directa a las categorías. Parece que las categorías son extensiones naturales a las dimensiones inferiores ($d=0$ y $d=1$).
