¿Por qué cada definición es una declaración de tipo "iff"?

Question

Supongamos que intentamos definir un objeto matemático $M$ . El enunciado de la definición suele adoptar la forma (o alguna de sus variantes equivalentes),

Se dice que un objeto matemático es $M$ $\color{red}{\text{if}}$ satisface alguna propiedad o propiedades, por ejemplo $P$ .

Se dice que la inclusión de " $\color{red}{\text{if}}$ " en las definiciones puede sustituirse fácilmente por " $\color{blue}{\text{iff}}$ ". En otras palabras, la definición anterior es equivalente a decir,

Se dice que un objeto matemático es $M$ $\color{blue}{\text{iff}}$ satisface alguna propiedad o propiedades, por ejemplo $P$ .

En el libro de Fraleigh sobre Álgebra Abstracta dice,

Pero creo que una definición es sólo una $\color{red}{\text{if}}$ -tipo de declaración. Tomemos por ejemplo la definición de un triángulo (euclidiano)

Se dice que un objeto geométrico es un triángulo $\color{blue}{\text{iff}}$ tiene tres lados.

Esta definición incluye dos partes,

Se dice que un objeto geométrico es un triángulo si tiene tres lados.

y,

Si un objeto geométrico es un triángulo, entonces tiene tres lados.

Pero la segunda parte es claramente un sinsentido si suponemos que tenemos exactamente una definición de triángulo, ya que en la segunda parte tenemos que saber qué es realmente un triángulo y, según nuestra suposición, la definición de triángulo la proporciona la primera parte.

Entonces, mi pregunta es,

¿Por qué cada definición es una declaración del tipo "si y sólo si"?

Answer 1

Esta es una razón para incluir el "si" en lugar del "si". Podríamos decir

Se dice que un objeto geométrico es un polígono si tiene tres lados

Esta es una afirmación verdadera, ya que todo triángulo es un polígono. Sin embargo, esto no nos da la definición de un polígono, ya que no todos los polígonos tienen tres lados.

Answer 2

Si niega que

$X$ es un triángulo $\Large\iff$ $X$ tiene tres lados

pero cree

$X$ es un triángulo $\Large\impliedby$ $X$ tiene tres lados

entonces hay algún objeto $X$ que no tienen tres lados que todavía se llama un triángulo.

Answer 3

Considera este ejemplo:

Definición. Un número entero $n$ se llama impar si existe un número entero $k$ tal que $n=2k+1$ .

Teorema 1. $17$ es impar.

Prueba. Tenemos $17=2\cdot 8+1$ de ahí la definición de impar se aplica. $_\square$

Teorema 2. Supongamos que $m$ es un número entero impar. Entonces $m^2$ es un número entero impar.

Prueba. Dejemos que $m$ sea un número entero impar. Entonces existe $k$ con $m=2k+1$ . Calculamos $m^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2\cdot(2k^2+2k)+1$ Así que $m^2$ es impar porque $2k^2+2k$ es un número entero. $_\square$

Lea atentamente las pruebas. ¿Ves cómo utilizamos la parte "si" de la definición en la primera prueba? ¿Y también en el último paso de la segunda prueba? Sin embargo, en " Entonces existe $k$ con $m=2k+1$ También utilizamos la parte (implícita) "sólo si" de la definición. Sin ella, la prueba no sería posible. De hecho, sin el "sólo si" sería consistente que $2$ es impar (y $4$ todavía no impar) y el teorema falso.

Answer 4

Una definición que no fuera bidireccional sería confusa y poco útil. Digamos que el objeto $X$ se llama $Y$ si (pero no sólo si) tiene propiedades $P$ entonces tal vez sea posible que $X$ para ser $Y$ incluso si $X$ no tiene propiedades $P$ Pero, ¿en qué condiciones? Si queremos demostrar que $Z$ también es $Y$ ¿Qué tenemos que demostrar? Seguramente demostrar que $Z$ tiene propiedades $P$ es suficiente, pero quizá no sea necesario. Dejar de lado la otra dirección tiene problemas similares.

Answer 5

¿Qué hace que algo sea una definición, en lugar de un axioma, o una afirmación sustancial cuya verdad está abierta a la duda?

Informalmente, la idea es que una definición es una mera taquigrafía verbal. Por lo tanto, una definición no debe introducir ninguna materia realmente nueva, ni debe permitirnos demostrar nuevos resultados sobre la materia ya considerada.

Dejemos que $t$ sea un término introducido por definición. Entonces

1. $t$ debería ser eliminable. Es decir, para cualquier declaración $\phi$ la definición proporciona otra afirmación $\phi'$ tal que $\phi'$ no contiene $t$ y utilizando la definición es fácilmente demostrable que $\phi$ y $\phi'$ son equivalentes.

2. la definición de $t$ debe ser una extensión "conservadora" de la teoría subyacente. Es decir, si un enunciado que no contiene $t$ se puede demostrar en absoluto, esto debería ser posible sin utilizar la definición de $t$ .

Exigir que una definición tenga la forma "si" en lugar de sólo "si" o "sólo si" es sólo una forma fácil de garantizar el cumplimiento del criterio de eliminabilidad.

Por ejemplo, considere una declaración de la forma

D. " $Fx$ si $\psi(x)$ para todos $x$ "

donde $\psi$ no contiene $F$ . Entonces, cualquier otra declaración que contenga $F$ es demostrablemente equivalente, utilizando sólo D y la lógica pura, a un enunciado que no contenga $F$ .

En general, este no es el caso si "si" en D se sustituye por "si" o "sólo si".