Antecedentes:
Esta es una tarea de ejercicio que pide calcular una transformación de la matriz. La respuesta ha sido publicado por nuestro maestro. Sin embargo, mi enfoque va de una manera diferente y obtiene una solución diferente. He comprobado una y otra vez, pero no pudo identificar el error.
El Ejercicio Problema:
Supongamos $X \in R^{2 \times 2}$, definir una transformación lineal sobre$R^{2 \times 2}$: $ \mathbf{T(X)} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} X$.
Por favor, calcular la transformación de la matriz bajo las siguientes bases: $\mathbf{E_1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\mathbf{E_2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\mathbf{E_3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\mathbf{E_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$.
Mi solución: Mi enfoque es simplemente para transformar cada uno de los vectores de la base por la $T$, a continuación, insertar el resultado en las columnas de una matriz. \begin{cases} T(E_1) &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix} = E_1 - 2E_3 + 2E_4. \\[15pt] T(E_2) y= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} = -E_2 + 2E_4. \\[15pt] T(E_3) y= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} = -E_1 - 2E_2 + 2E_3 + 2E_4. \\[15pt] T(E_4) y= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 4 \\ \end{bmatrix} = -2E_2 + E_4. \end{casos} Por lo tanto, la transformación de la matriz de $T$ es: $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$.
Mi maestro de la solución:
Este enfoque, en primer lugar, calcula la transformación de la matriz de $T$ debajo de la base natural de $R^{2 \times 2}$, que es, $\mathbf{E_{11}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\mathbf{E_{12}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\mathbf{E_{21}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$, $\mathbf{E_{22}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$.
\begin{cases}
T(E_{11}) &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix} = E_{11} + 0 E_{12} + 2E_{21} + 0E_{22}.
\\[15pt]
T(E_{12}) &= 0 E_{11} + E_{12} + 0 E_{21} + 2E_{22}.
\\[15pt]
T(E_{21}) &= E_{11} + 0 E_{12} + 2E_{21} + 0 E_{22}.
\\[15pt]
T(E_4) Y= 0 E_{11} + 1 E_{12} + 0 E_{21} + 2E_{22}.
\end{casos}
Por lo tanto,
$T(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) = (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) A$.
A continuación, toma ventaja de la transformación de la matriz $C$ de la base natural para el destino base:
$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
Así, la transformación de la matriz de $T$ bajo el objetivo base es: $B = C^{-1}AC = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -3 & -2 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
Mi Pregunta:
- Como se puede ver, las dos respuestas son diferentes. Entonces, ¿qué está mal con mi solución?
- Cómo comprobar si una transformación de la matriz ha sido computado sin el maestro de la respuesta?
