Q. ¿existen las relaciones o las pruebas que se iluminan por ver $n!$ como el volumen de una caja de $1 \times 2 \cdots \times n$de % de $n$-dimensiones?
¿No puedo pensar en ninguna, pero quizás existan...?
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Theo
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Ok, así que estoy escribiendo esto como una respuesta porque no encaja en los comentarios:
Podemos dar una prueba de $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ con un volumen de interpretación, pero no es la que ilumina y que no es lo suficientemente interesante (tal vez). Peor aún, voy a tener que volver a escribir la ecuación como $$n(n-1)\cdots (n-k+1)=k\cdot (n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)+(n-1)(n-2)\cdots (n-k)$$
Esto puede ser interpretado como un volumen de totalización, si una muestra de que el $n\times (n-1)\times\cdots\times(n-k+1)$ cuadro ( $A$ ), tiene un suelo de baldosas con $k$-muchos de los $1\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)$ (cajas de llamarlos $d$) y un $(n-1)\times\cdots\times(n-k)$ cuadro ($B$).
De hecho, decir en primer lugar, el cuadro de $A$ está dado por el conjunto de vectores $$\big\{ (n-k+1,0,\cdots,0), (0,n-k+2,0,\cdots,),\cdots, (0,0,\cdots,0,n)\big\} $$ Now, place the box $B$ inside $A$ with gravity in the $(n-k+1,n-k+2,\cdots,n)$ direction (i.e. $B$ touches exactly half of the $2n$ sides of $A$ and shares exactly one vertex with it (the vertex $(n-k+1,n-k+2,\cdots,n)$. This would look somewhat like:
Ahora, tenga en cuenta que cada punto en el complemento tiene una coordenada que pertenece al intervalo de $[0,1]$. Podemos usar esto para darle una estratificación del complemento en $k$ cajas de $B_1',B_2',\cdots, B_k'$, con respecto a que coordinar es en $[0,1]$. Por supuesto, algunos cuadros de superposición, es por eso que definimos $B1=B1',\ B_2=B_2'-B_1', \cdots, B_i=B_i'-B_{i-1}'-\cdots -B_1'$ , etc.. para conseguir una verdadera estratificación.
Ahora, no es muy difícil ver que el volumen de $B_i$ es exactamente $(n-1)(n-2)\cdots (n-i+1)\cdot 1\cdot (n-i)\cdot (n-k+1)$, que es lo que queríamos. La fórmula para el volumen es indicativo de la prueba, siento que va a llegar demasiado tiempo para leer, si voy a escribir...
Aviso que esto podría ayudar a responder a mi comentario anterior, si el cuadro de $n\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)$ tiene un suelo de baldosas con $\binom{n}{k}$-muchos de los $1\times 2\times\cdots\times k$ cajas. Si se demuestra que el complemento hemos descrito puede ser distribuidas por $\binom{n-1}{k-1}$-muchos de los $1\times 2\times\cdots\times k$ cajas, que se hacen (por inducción).
Sin embargo, la particular de estratificación elegí no funciona en este caso como $(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times (n-k+1)$ no siempre tilable. Así, uno debe encontrar una mejor estratificación, o hacer un argumento que podría tener que elegir uno, dependiendo de la $k$ $n$...
Aunque no al 100% sobre lo que están pidiendo (quizás 87%), considere la posibilidad de una $n$-dimensional del cubo con la cara $x$. El $n$-ésima derivada de la caja de volumen del es $n!$. Que es $$\frac{d^n}{dx^n} x^n=n!$$ Curiously enough, this is saying that the rate of the rate of the...of the rate of increase of the volume of an $n$-dimensional cube is precisely the volume of a $1\times2\times3\times\ldots\times n$ box. We can think about what's going on here in terms of a 3-dimensional cube to get a better handle. The first derivative of the volume with respect to the side length is just going to be three times the area of its faces. Why? Because if we increase the side length ($x$) by length $\delta$, we will have added three super-thin 'slices' to three of the faces of the cube. We can see this in the definition of the derivative: $$\frac{dx^3}{dx}=\lim_{\delta \to 0} \frac{(x+\delta)^3-x^3}{\delta}=\lim_{\delta \to 0}\frac{3x^2\delta+3x\delta^2+\delta^3}{\delta}$$
Si nos detenemos a pensar en lo que cada uno de los términos en el numerador se describe, es la siguiente: 
Por lo tanto, el único superviviente de los términos que describen las 3 caras del cubo.
Ahora bien, si tomamos la derivada de estos tres 'rebanadas' (que en realidad sólo son 2 dimensiones de los cuadrados en el límite de $\delta \to 0$), vemos que la derivada segunda es la que nos dice lo que las longitudes de las dos líneas se agregan a tres de los cuadrados de los lados del cubo, son como varían $x$ por una cantidad infinitesimal. La tercera derivada es solamente nos dice cuántas líneas hay (en realidad el número de puntos que añadir en cada línea, pero que es el mismo que el número de líneas).
Así que poniendo todo junto, vemos que, en un sentido, podemos asignar a cada unidad de volumen en nuestra caja de dimensiones $1,2,3,\ldots,n$ sobre un punto de la orilla de un $n$-dimensional del cubo que se añadiría fueron el cubo de la longitud lateral para aumentar por $\delta$.
mathreadler
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alan2here
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Lo siento si estoy tomando este es demasiado literalmente, espero que mis conclusiones acerca de este espacio un interesante como me pareció a explorar:
Pensar factorial como sobre el volumen de un rectángulo, como en su pregunta, y construir a pensar acerca de las reglas y relaciones, empecé por el uso de thease formas, con un área descrita con factorial, tales como la 3, por 2, por 1 unidad de forma oblonga, con una superficie de 3! = 6, para que llene un cubo más grande.
Más específicamente, la cuestión que he tratado de responder fue:
¿Qué número natural es el lado de la longitud de la $L$ de la menor $D$ dimensiones del cubo, que puede ser llenado exactamente por factorially análoga volúmenes $\{X, Y, Z, \ldots\} = \{1, 2, 3, \ldots\}\ $? El número natural $V$ es el número de volúmenes requeridos.
$D\text{:}\ L, V$
$1\text{:}\ 1, 1\\2\text{:}\ 2, 2\\3\text{:}\ 6, 36\\4\text{:}≥4, ?\\\ldots$
$L ≥ D$
$L ≠ W\\W ≠ CubeRoot(Common(\text{Cube Numbers},\text{ Multiples of D!}))$
