Operador de Schrödinger con interacción de delta (rango cero).

Question

Estoy leyendo el libro de Albeverio nombre Solucionable modelos de la mecánica cuántica. En el primer capítulo se explica cómo realizar el operador $"-\Delta+\delta_0"$ como un auto adjunto del operador en $L^2(\mathbb{R}^3)$. Voy a explicar la idea principal. Al principio uno tiene que considerar el $H:=-\Delta_{|_{C^{\infty}_0}(\mathbb{R}^3\setminus \{0\})}$. Uno tiene que demostrar que un operador admite auto adjunto extensiones en $L^2(\mathbb{R}^3)$, que será, por definición, nuestros operadores $"-\Delta+\delta_0"$. Hay dos técnicas cosas que yo no entendía. La primera: el libro dice que uno puede mostrar (que no es trivial) que el medico adjunto de $H$ $H^*=-\Delta$ con dominio $$\mathcal{D}(H^*)=\{g\in H^{2,2}_{loc}(\mathbb{R}^3\setminus \{0\})\cap L^2(\mathbb{R^3})\,\,s.t.\,\, \Delta g\in L^2(\mathbb{R^3})\}.$$ Yo realmente no entiendo, tal vez es una cosa estúpida, ¿por qué este espacio no es igual a $H^2(\mathbb{R}^3)$.

Les explico mi duda: yo digo que $g\in L^2(\mathbb{R}^3)$ $\Delta g\in L^2(\mathbb{R}^3)$ me permiten considerar su transformada de Fourier, consiguiendo $(1+|\xi|^2)\hat{g}\in L^2(\mathbb{R}^3)$, que me dice que $g\in H^2(\mathbb{R}^3)$. Por qué estoy equivocado?

La segunda cosa que no entiendo es la siguiente. El autor dice que un cálculo simple muestra que $$\psi(k,x)=\frac{e^{ik|x|}}{|x|},\,\, x\neq 0,\,\, \mathfrak{Im}(k)>0,$$ es la única solución de $$H^* \psi(k)=k^2\psi(k),\,\, \psi(k)\in\mathcal{D}(H^*),\,\, k^2\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R},\,\, \mathfrak{Im}(k)>0.$$ No sé cómo proceder en la demostración de este hecho.

Alguien me puede ayudar a entender estos dos hechos? Me disculpo por la técnica, tal vez estúpido, pregunta. Gracias.

Answer 1

La notación $\Delta g\in L^2(\mathbb R^3)$ es engañosa: no leer más $\Delta g\in L^2(\mathbb R^3 \setminus\{0\})$. La diferencia es sólo un conjunto null, tan insignificante.

Pero es fundamental para la definición de un débil derivado de la $g$: Por definición $$ \int g \Delta \psi = \int \Delta g \psi $$ para todos los $\psi \in C_0^\infty(\mathbb R^3 \setminus\{0\})$. Es decir, la función de prueba es igual a cero en un barrio de el origen! Por lo tanto, esta definición de la debilidad de los derivados no puede detectar singularidades en $x=0$. Por lo tanto $\Delta g$ no es la débil Laplaciano de $g$ sobre todos los de $\mathbb R^3$.

Ahora mira a esas funciones $\psi(\cdot, k)$. Estas funciones son ilimitados cerca del origen. Sería $\psi(\cdot,k)\in H^2(\mathbb R^3)$ mantener $\psi$ será continua y acotada (por la incrustación de Sobolev) cerca del origen. Por lo tanto el dominio de $H^*$ no puede ser $H^2(\mathbb R^3)$.