¿Por qué, conceptualmente, el producto cruzado no es conmutativo? Obviamente, podría simplemente echar un vistazo a la fórmula para calcular el producto cruzado a partir de componentes vectoriales para demostrarlo, pero me interesa saber por qué tiene sentido lógico que el vector resultante vaya en sentido negativo o positivo dependiendo del orden de la operación cruzada. No tengo ninguna experiencia formal en álgebra lineal, así que agradecería que la respuesta tuviera eso en cuenta (sólo estoy aprendiendo vectores como parte de la educación matemática del juego 3D).
Respuestas
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La magnitud del vector resultante es una función del ángulo entre los vectores que estás multiplicando. La cuestión clave es que el ángulo entre dos vectores se mide siempre en la misma dirección (por convención, en sentido contrario a las agujas del reloj).
Intenta sujetar el pulgar y el índice izquierdos en forma de L. Midiendo en sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo entre el pulgar y el índice es de aproximadamente 90 grados. Si mides desde el dedo índice hasta el pulgar (¡también hay que hacerlo en sentido contrario a las agujas del reloj!) tienes aproximadamente un ángulo de 270 grados.
Una forma de calcular un producto cruzado es tomar el determinante de una matriz cuya fila superior contiene los vectores unitarios componentes, y las dos filas siguientes son los componentes escalares de cada vector. Cambiar el orden de la multiplicación es como intercambiar las dos filas inferiores de esta matriz. Es un teorema del álgebra lineal que al intercambiar las filas se multiplica el determinante por -1.
David Quinn
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Dado que dos vectores son perpendiculares a dos vectores no paralelos cualesquiera, y que estos vectores están en direcciones opuestas, tiene sentido decidir cuál será el resultado del producto cruzado. Así que se adoptó la convención de seguir una tríada a la derecha, en contraposición a una tríada a la izquierda.
Dimitri Wetzel
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Porque $\vec{a}$ , $\vec{b}$ y $\vec{a}\wedge\vec{b}$ son un triplete derecho de vectores .
Y, si $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ es un triple (ordenado) derecho de vectores, entonces también $(\vec{b},\vec{a},-\vec{c})$ es, mientras que $(\vec{b},\vec{a},\vec{c})$ no lo es. En efecto, no sólo el producto cruzado no es conmutativo, sino que además es anticonmutativo .
Véase también el etiqueta cruzada de productos wiki .
