Finitud y anillo generado

Question

Necesito ayuda con esta pregunta:

Deje $A$ ser el sub-anillo de $\mathbb{Q}(i)$ generado por $\mathbb{Z}[i]$, $\frac{1}{1+2i}$ y $\frac{1}{2+3i}$. Dado $n\in\mathbb{Z} \setminus \{0\}$, podemos asegurar que $A/nA$ es finito?

Los elementos de $A$ son elementos en $\mathbb{Q}(i)$ con poderes de $1+2i$ $2+3i$ en sus denominadores, por ejemplo, $$\frac{1}{(1+2i)^r(2+3i)^s}.$$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Como tengo un voto para cerrar el tema, voy a añadir algo de información extra. Esta pregunta es parte de una investigación basada en el Pijama problema (http://arxiv.org/abs/1305.1514). Yo estaba trabajando con un maestro y pensamos que $A/nA$ no es siempre finito, pero hice la pregunta aquí para saber si alguien tiene una opinión diferente. :)

Answer 1

$A=S^{-1}R$, donde $R=\mathbb Z[i]$ y $S$ son el multiplicativo conjunto generado por $1+2i$ y $2+3i$. Entonces $A/nA$ es isomorfo a un anillo de fracciones de $R/nR$ que es un anillo finito.