Para responder a su primera pregunta: Las partículas y los campos están separados. Las partículas son las excitaciones irreducibles de los campos. Sólo se pueden obtener partículas después de cuantificar los campos.
Sin embargo, es posible que a menudo veas a personas que utilizan partículas sin cuantificar los campos (en mecánica clásica y GTR). Debes entender que se trata de modelos aproximados que se obtienen asumiendo que la densidad de energía de los campos se concentra en partículas puntuales.
En el corazón de la física no cuantificada, tenemos campos materiales continuos para fotones, electrones, quarks, etc. Estos campos son (generalmente campos tensoriales) de la forma $${{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}(x,y,z,t)$$ $(i)$ denota el tipo de campo (como el fotón, el bosón de Higgs, etc.) Incluye escalares, vectores, covectores, espinores, etc. La densidad lagrangiana $L$ suele ser función de las componentes de estos distintos campos y del tensor métrico. Hay que basarse en la observación y en otras consideraciones (como las simetrías gauge) para construir un lagrangiano covariante (valor siempre fijo en un suceso). Así que la "configuración" de la que hablas depende de todos estos factores.
Su segunda pregunta es en realidad mucho más interesante. Existen 2 tensores SE de uso común, que se diferencian por la divergencia de un tensor antisimétrico. Este documento: http://authors.library.caltech.edu/19366/1/GoMa1992.pdf lo discute en detalle.
El primero es el tensor canónico SE derivado como una corriente conservada utilizando el teorema de Noether a partir de la invariancia traslacional espacio-temporal del Lagrangiano.
El segundo tipo de tensor se deriva de consideraciones de invariancia difeomórfica de la acción. Se denomina tensor SE de Belinfante - Rosenfeld. Un difeomorfismo es una noción muy sofisticada y generalizada de una traslación. Sea el campo vectorial $X$ sea un generador de difeomorfismo general ${\phi}^*$ y el volumen de integración es $F$ . $X$ se desvanece en el exterior $F$ . Así que tenemos $${\int}_{F}L{\eta}-{\phi}^*(L{\eta}) = 0$$ Así, $${\int}_{F}D_{X}(L{\eta})=0$$ donde ${\eta}$ es la forma del volumen (¡he suprimido el factor de 1/4!)
Ampliando la RHS, obtenemos:
$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}[(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}}}-(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g;c}}})_{;c})D_{X}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}} + \frac{1}{2}T^{ab}D_{X}g_{ab}]{\eta}=0 $$
Como puedes ver, el primer término es la ecuación de Euler que es igual a cero para cada componente del campo, por lo que cada término de la primera parte de la integral desaparece.
Ahora un resultado básico que se puede inferir directamente de la definición de un difeomorfismo es $$D_{X}g_{ab}= X_{a;b} + X_{b;a}$$
Sustituyendo esto en la fórmula anterior $${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}((T^{ab}X_a)_{;b}-(T^{ab}_{;b})X_a){\eta}=0 $$
El primer término puede transformarse en una integral de superficie en la frontera de $F$ y se desvanece como $X$ desaparece en la frontera de $F$ . Esto nos deja con $${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}-(T^{ab}_{;b})X_a{\eta}=0 $$
Ahora bien, lo anterior debe ser siempre cierto para cualquier $X$ Esto sólo es posible si $(T^{ab}_{;b})=0$ .
Este tensor es siempre simétrico e invariante gauge, por lo que es mucho más útil en GTR que el tensor canónico. Consulta el artículo enlazado anteriormente para conocer más detalles sobre las sutiles diferencias entre ambos.
Referencias: Capítulo 3, "Estructura a gran escala del espacio-tiempo" de Hawking y Ellis
