¿Qué conjuntos de números enteros pueden expresarse de la forma $m^2 + n^2$ y $m^2 - n^2$ donde $m$ y $n$ ¿son números enteros?

Question

Intento encontrar qué conjuntos de números enteros pueden expresarse de la forma

$\mathrm{1})\,\,m^2 - n^2$ y,

$\mathrm{2)}\,\,m^2 + n^2$

donde $m$ y $n$ son números enteros.

Para la primera parte lo expresé como $(m-n)(m+n)$ y dedujo que los únicos números que no pueden expresarse de esta forma son los números de la forma $2(2n-1) = 4n - 2\quad n\in\mathbb{Z}$ .

¿Es correcto?

No estoy seguro de cómo empezar la segunda parte.

Answer 1

Como mencionaste, $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ por lo que el conjunto $S=\{a^2+b^2\mid a,b,\in\mathbb{Z}\}$ es cerrado bajo multiplicación. Por lo tanto, el primer paso es encontrar todos los primos $p\in S$ . En primer lugar, está claro $2=1^2+1^2\in S$ . Además, los únicos residuos cuadráticos $\pmod{4}$ son $0$ y $1$ Así que $a^2+b^2$ sólo puede ser $0,1$ o $2$ $\pmod{4}$ (es decir, no $3$ ). Así que está claro que todos los primos que son una suma de dos cuadrados es un subconjunto de $2$ y primos $p\equiv1\pmod{4}$ . Resulta que tales primos son exactamente este conjunto, pero la prueba todos los primos de la forma $4k+1$ para $k\in\mathbb{N}$ son elementos de $S$ utiliza mucha teoría de números. Mi favorito es el siguiente, que utiliza algo llamado Teorema de Minkowski.

El Teorema de Minkowski establece que si se tiene un área $K$ en una red con un paralelogramo fundamental de tamaño $\Delta$ , $K$ es simétrica respecto al origen (es decir $-f(x)=f(-x)$ ), $K$ es convexa (para cualquier punto $\vec p$ y $\vec q$ en $K$ todos los puntos entre $\vec p$ y $\vec q$ también debe estar en $K$ ), y $K>4\Delta$ entonces debe existir al menos $1$ punto de red en $K$ que no sea el origen.

La prueba es la siguiente: Considere la posibilidad de cortar $K$ en paralelogramos de tamaño $4\Delta$ que son, en esencia $2\times2$ celosías, empezando por los 4 paralelogramos fundamentales alrededor de $\vec 0$ . A continuación, traslada cada una de estas áreas de forma que su centro se encuentre en el origen. Trasladadas todas $K$ en un área de tamaño $4\Delta$ por el principio de encasillamiento, debe haber un punto de solapamiento. Sea $\vec p$ sea uno de los puntos de solapamiento tal que $\vec p+2m\vec v+2n\vec w\in K$ donde $\{\vec v,\vec w\}$ generan la red y $m,n\in\mathbb{Z},\ (m,n)\neq(0,0)$ . Desde $K$ es simétrica respecto al origen, $-\vec p\in K$ . Por último, dado que $K$ es convexo, el punto medio de $-\vec p$ y $\vec p+2m\vec v+2n\vec w$ está en $K$ . Por lo tanto $m\vec v+n\vec w\in K$ y es un punto de la red que no es el origen.

Considere el grupo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\{1,2,\ldots,p-1\}$ bajo multiplicación ( $p$ prime). Nótese que, gracias al Pequeño Teorema de Fermat, $n^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ para todos $n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Si $n$ es un residuo cuadrático (QR), es decir, si existe $a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ tal que $a^2\equiv n\pmod{p}$ entonces $1\equiv a^{p-1}\equiv n^{\frac{p-1}{2}}\pmod{p}$ . Desde $$a^{p-1}-1=(a^{\frac{p-1}{2}}-1)(a^\frac{p-1}{2}+1)\equiv 0\pmod{p}$$ Sabemos que $a^\frac{p-1}{2}+1$ y $a^{p-1}{2}-1$ debe tener $p-1$ raíces entre ellos. Ya sabemos que $a^\frac{p-1}{2}-1$ tiene $\frac{p-1}{2}$ raíces, y el teorema de Lagrange dice que no puede haber más raíces que el grado del polinomio. Por tanto, todas las $\frac{p-1}{2}$ deben satisfacer $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod{p}$ . Así obtenemos el Criterio de Euler:

$$n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\mathrm{\ is\ a\ QR} \iff\ n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod{p}$$

$(-1)^\frac{p-1}{2}\equiv 1\iff2|\frac{p-1}{2}\iff p\equiv 1\pmod{4}$ por lo tanto existe $n\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ tal que $n^2+1\equiv 0\pmod{p}$ si $p\equiv 1\pmod{4}$ . Ahora bien, dado un $n$ ¡creemos una celosía!

Consideremos la red generada por $\{\vec v=\langle n,1\rangle,\vec w=\langle 0,p\rangle\}$ Tenga en cuenta que para cualquier $(p_1,p_2)$ en esta red, $p_1^2+p_2^2=(k\cdot n+\ell\cdot 0)^2+(k\cdot 1+\ell\cdot p)^2\equiv k^2(n^2+1)\equiv 0 \pmod{p}$ . Además, el área del paralelogramo fundamental es $\begin{array}{|cc|}n&1\\0&p\end{array}=n\cdot p<p^2$ . Si consideramos el área $K=\{(x,y)\mid x^2+y^2<2p\}$ entonces $|K|=\pi(2p)^2=4\pi p^2>4p^2>4np$ . Desde $K$ es un círculo, es simétrico respecto al origen.

Por lo tanto, $K$ satisface todos los criterios del Teorema de Minkowski y contiene un punto de red. Este punto de red cumple $p|x^2+y^2$ y $x^2+y^2<2p$ Así que $x^2+y^2=p$ .

Después de encontrar todos los primos en $S$ necesitamos encontrar todos los números compuestos en $S$ con factores no incluidos en $S$ . Sea $p\equiv 3\pmod{4}$ . Si $p|a^2+b^2$ entonces $p|(a+bi)(a-bi)$ . Supongamos que existen $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[i]$ tal que $\alpha\beta=p$ . Entonces $N(\alpha)N(\beta)=N(p)=p^2$ . $N(\alpha),N(\beta)\neq p$ desde $p$ no puede escribirse como suma de dos cuadrados, por lo que al menos uno de $\alpha, \beta$ es una unidad y $p$ es "primo" en $\mathbb{Z}[i]$ . Así $p|a+bi$ y $p|a-bi$ Así que $p|a$ y $p|b$ . Por lo tanto, los únicos factores que quedan sin explicar son $p^2$ para todos $p\equiv 3 \pmod{4}$ .