¿Hay otros métodos para evaluar $\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\cdots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\cdots}$?

Question

¿Hay otros métodos para evaluar la siguiente serie? $$\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\cdots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\cdots}$$

Mi intento es el siguiente,

\begin{align} \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\cdots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\cdots} &=\frac{x}{y} \\ \frac{1^{-4}+3^{-4}+\cdots+2^{-4}+4^{-4}+\cdots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\cdots} &=\frac{x}{y} \\ \frac{y+2^{-4}(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\cdots)}{y} &=\frac{x}{y} \\ \frac{y+2^{-4}x}{y} &=\frac{x}{y} \\ \frac{x}{y} &= \frac{1}{1-2^{-4}} \end {Alinee el}

Answer 1

La prueba está bien.

La notación sigma puede hacer algunas cosas más limpia. El abajo es el mismo argumento, escrito con notación diferente: $$x=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}\\y=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^4}$ $

Entonces $$x=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(2n-1)^4}+\frac{1}{(2n)^4}\right)=y+\frac{1}{2^4}x$ $

y así $$\frac{x}{y} = 1+\frac{1}{2^4}\frac{x}{y}\implies\\\frac{x}{y}=\frac{1}{1-\frac{1}{2^4}}$ $

Supongo que el otro enfoque es tener en cuenta que cada $n$ puede ser escrito únicamente como $2^k(2m+1)$. Por lo tanto:

$$\begin{align}x = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= \sum_{k=0}^\infty\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(2^k(2m+1))^4}\\ &=\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{4k}}\right)\left(\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)^4}\right)\\ &=\frac{1}{1-\frac{1}{2^4}}y \end {Alinee el} $$