Mostrar $ 1 + a + a^2 + a^3 + \ldots + a^n = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ por inducción

Question

¿Cómo podemos demostrar por inducción matemática que el siguiente tiene por $ n \ge 0$$a \ne 1$?

$$ 1 + a + a^2 + a^3 + \ldots + a^n = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$$

Entiendo el principio de inducción matemática, pero no tengo ni idea de cómo se aplican aquí. Sé que en general tengo que probarlo para $n = 1$ y, a continuación, suponga $n = k$ es correcta. Luego resulte $n = k+1$ es cierto. Pero, ¿qué acerca de la $a$?

He visto un montón de vídeos de YouTube sobre el tema, y he leído un par de preguntas aquí, pero no está ayudando. Los videos tienen sentido mientras estoy viendo, pero no sé cómo aplicarlo. Esta pregunta apareció en mi discreto examen de matemáticas de la semana pasada. Yo no hice bien. Creo que me estoy perdiendo algo fundamental en mi comprensión de este tema.

Answer 1

Si $n=0$, debemos probar $1=\frac{a-1}{a-1}$ que es trivial.

Asumir que tiene $n=k$, es decir: $$1+a+...+a^k=\frac{a^{k+1}-1}{a-1}$$ We must prove that it holds for $n = k + 1$ o, en otras palabras, que $$1+a+...+a^k+a^{k+1}=\frac{a^{k+2}-1}{a-1}$ $ pero esto es fácil de comprobar con nuestra hipótesis: $$1+a+...+a^k+a^{k+1}=\frac{a^{k+1}-1}{a-1}+a^{k+1}=\frac{a^{k+1}-1+a^{k+2}-a^{k+1}}{a-1}=\frac{a^{k+2}-1}{a-1}$ $