Todos los números naturales son de forma $x^2+y^2+z^2+w^2+xy+zw$

Question

¿Hay ningún número natural que no se puede escribir como $x^2+y^2+z^2+w^2+xy+zw$, donde $x,y,z,w$ son números enteros? Si no hay ninguno, ¿cómo demostrar que todos los números naturales son de forma $x^2+y^2+z^2+w^2+xy+zw$?

Answer 1

$x^2 + xy+ y^2$ representa exactamente los mismos números como $u^2 + 3 v^2.$ está preguntando si $$ s^2 + 3 t^2 + u^2 + 3 v^2 $$ es positivo universal. Es.

Más: una variación de cuaterniones multiplicación muestra que, cuando esta forma representa dos números, por llamarlos $m,n,$, a continuación, también representa la $mn.$ Mientras tanto, $$ s^2 + 3 t^2 + u^2 $$ is a regular ternary form, in particular it represents $1,2,3,$ and all numbers not divisible by $3,$ que incluye todos los otros números primos. A partir de la multiplicación de la propiedad, se deduce que todos (positivo) se representan los números.

Para obtener información acerca de qué números están representados por $s^2 + 3 t^2 + u^2,$ ver la entrada de $1,1,3$ en Dickson_Diagonal_1939.pdf en TERNARIO. Exhaustivo de la prueba se administra como Teorema 89, páginas 97-99, de Dickson del libro.

Answer 2

Por el teorema de $15$, es suficiente para ver todos productos naturales hasta $15$. El margen es demasiado pequeño para mi prueba para que la tarea queda para el lector.