Probar

Question

Pregunta:

Demostrar o refutar

$$I=\lim_{n\to\infty} \frac{(2^{2^n}+1)(2^{2^n}+3)(2^{2^n}+5)\cdots (2^{2^n+1}+1)}{(2^{2^n})(2^{2^n}+2)(2^{2^n}+4)\cdots (2^{2^n+1})}=\sqrt{2}$$

Sé \begin{align}\frac{(2^{2^n}+1)(2^{2^n}+3)(2^{2^n}+5)\cdots (2^{2^n+1}+1)}{(2^{2^n})(2^{2^n}+2)(2^{2^n}+4)\cdots (2^{2^n+1})}=&\left(1+\dfrac{1}{2^{2^n}}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^{2^n}+2}\right)\\&\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^{ 2^n+1}}\right)\end{align}

así $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2^{2^n}}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^{2^n}+2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^{ 2^n+1}}\right)=\sqrt{2}\ ?$$

Siento que este resultado es muy sorprendente. Este problema viene de Chris del sis.

y puedo usar wolfram,ellímite de wofl la puedo encontrar A menudo utilizo esta función theta y es esto cierto? Gracias.

Answer 1

El logaritmo de la expresión bajo el límite puede ser reescrito como $$\sum_{k=0}^{2^{2^n-1}}\ln\left(1+\frac{1}{2^{2^n}+2k}\right)=\sum_{k=0}^{2^{2^n-1}}\frac{1}{2^{2^n}+2k}+O\left(2^{-2^n}\right).$$ Denoting $N=2^{2^n-1}$, es fácil ver que el límite del logaritmo puede ser computado como el límite de una suma de Riemann: $$\frac{1}{N}\sum_{k=0}^N\frac{1}{2\left(1+\frac{k}{N}\right)}\stackrel{N\rightarrow\infty} \longrightarrow \frac12\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln\sqrt2.$ $

Answer 2

$$\log \left(1+\tfrac{1}{2^{2^n}}\right)\left(1+\tfrac{1}{2^{2^n}+2}\right)\cdots\left(1+\tfrac{1}{2^{ 2^n+1}}\right) = \log \left(1+\tfrac{1}{2^{2^n}}\right)+ \log \left(1+\tfrac{1}{2^{2^n}+2}\right)+\cdots + \log\left(1+\tfrac{1}{2^{ 2^n+1}}\right)$$

Ampliación de Alex la idea de dejar a $t = 2^{2^n}$ que es muy grande. Aviso solo números:

$$ \log \left(1+\tfrac{1}{t}\right)+ \log \left(1+\tfrac{1}{t+2}\right)+\cdots + \log\left(1+\tfrac{1}{2}\right) \aprox \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2}+\cdots + \frac{1}{2} $$

Obtenemos una suma de Riemann, pero sólo la mitad de los términos:

$$ \frac{1}{t}\big[1 + \frac{1}{1+\tfrac{2}{t}}+\cdots + \frac{1}{2}\big] \approx \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{dt}{t} = \frac{\log 2}{2} = \log \sqrt{2} $$

Answer 3

Wolfram realidad se puede encontrar: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%28n+to+infinity%29+prod%28k+%3D+0+to+%282%5E%282%5En+-+1%29+%2B+1%29%29+%281+%2B+1%2F%282%5E2%5En+%2B+2k%29%29 en toda su gloria.

Me parece que la compactación de la fórmula de búsqueda para Wolfram y no confiando en su reconocimiento de patrones tiende a obtener mejores resultados. En su consulta de búsqueda, probablemente pensó que la parte superior y la parte inferior era idéntico a la hora de encontrar un patrón.