Dado un límite con notación f, ¿cómo solucionaría?

Question

Se sabe que $$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = -\frac12$$

Resolver $$\lim_{x \to 1}\frac{f(x^3-1)}{x-1}.$$

De antemano, sé que debo objetivo de deshacerse de el denominador $(x-1)$, y como tal me factor del numerador para obtener:

$$\lim_{x \to 1}{f(x^2+x+1)}{}.$$

Ahora que me factoriza el denominador, creo que puedo insertar el 1 en el límite y acabaría con $f(3)$. Aquí es donde estoy confundido, ¿cómo puedo incorporar la $-\frac12$ a esto? Pensé que ya que uno se está acercando a $1$ y el otro se aproxima $0$ hay más a este problema. Mi conjetura es que, simplemente, puedo multiplicar los dos límites para obtener la respuesta de $-3/2$.

Desde el límite original es simplemente $f(x) / x$ , todo lo que tengo que hacer es multiplicar por $x$(en este caso es 3) para obtener $f(x)$ nuevo.

Estoy en el camino correcto?

Answer 1

ps

Answer 2

Tenemos

$$\frac{f(x^3-1)}{x-1}=$$

$$(x^2+x+1)\frac{f(x^3-1)}{x^3-1}.$$

y cuando $x\to 1\;$, su límite es $3.\frac{-1}{2}=\frac{-3}{2}$.

Answer 3

En primer lugar, tenga en cuenta $$\lim_{x \to 1}\frac{f(x^3-1)}{x-1}=\lim_{x \to 1}\left(\dfrac{f(x^3-1)}{x^3-1}\dfrac{x^3-1}{x-1}\right)=\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x^3-1)}{x^3-1}\lim_{x \to 1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$ $ donde la última igualdad es si existen ambos límites. Ahora, utilizar

% $ $$\lim_{x \to 1}\dfrac{f(x^3-1)}{x^3-1}=\lim_{x^3 \to 1}\dfrac{f(x^3-1)}{x^3-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}=-\dfrac{1}{2}$y

$$\lim_{x \to 1}\dfrac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}(x^2+x+1)=3.$$