¿Se puede escribir cualquier función lisa en esta forma?

Question

¿Se puede escribir cualquier función lisa $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ en la forma $$F(x) = F(a) + \sum_{\mu = 1}^n (x^\mu - a^\mu)H_\mu(x),$$where $a = (a ^ 1, \dots, una ^ n) \in \mathbb{R}^n$ and the $H_\mu$ are $C^\infty$ funciones?

Answer 1

Se trata de una aplicación del Teorema fundamental del cálculo. Por la traducción, vamos a suponer $a=0$. Entonces $$ f (x) - f (0) = \int_0^1 \frac {d} {dt} \bigg|_ {t = s} f (tx) \,ds = \int_0^1 \sum_{i=1}^n \frac {\partial f} {\partial x_i}(s x) x_i \, ds. $$ Ahora, intercambio de sumación y la integración y uso de diferenciación bajo la integral (+ inducción) para ver que cada una de las funciones $$ x \mapsto \int_0^1 \frac {\partial f} {\partial x_i} (sx) \, ds es el $$ $C^\infty $.