Si $f\in \mathcal R(I)$, $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ diferenciable en $I$, entonces el $f\in \mathcal C(I)?$

Question

Demostrar eso si una función acotada $f$ es un monótono la función en un intervalo cerrado $[a,b]$ y el $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $ de la función es diferenciable en $[a,b]$, entonces es continua en $f$ $[a,b].$

Quiero prueba por contradicción aplicando el Teorema de Darboux en $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $. He intentado, pero aparentemente no funciona. ¿Tienes algunos consejos? ¡Cualquiera de su ayuda será apreciada!

Answer 1

Supongamos $x_0$ es un (salto) discontinuidad de $f$$I$. Este debe corresponder a un inexistente derivado de la $F$$x_0$, de hecho (supongo que es discontinuo de la derecha): $f(x_0-\delta) \leq f(x_0)$ también $f(x_0) < \lambda + f(x_0+\delta)$ positivo $\lambda$, y para todos los $\delta>0$.
Ahora, partición de $[x_0 - \delta, x_0]$ a $\{\Delta x_i \}$ y de los puntos de evaluación $\{ t_i \}$, y de la partición de [x_0, x_0 + \delta] a $\{\Delta X_i \}$ y $\{T_i \}$. $f\in \mathcal{R}(I)$ y así las sumas de riemann se garantiza la convergencia. Tomamos $\Delta X_i =\Delta x_i$ todos los $i\in\{1,\dots,n\}$. $$I_\mathrm{L}=\int_{x_0 -\delta}^{x_0} f(x)\mathrm{d}x = \lim_n\sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta x_i < \lim_n \sum_{i=1}^n(\lambda + f(T_i)) \Delta X_i$$ El derecho sumando en realidad es $\int_{x_0}^{x_0+\delta}(\lambda+f(x))\mathrm{d}x = \lambda \cdot \delta + I_\mathrm{R}$. De vuelta a nuestro problema:

$$\lim_{\delta\rightarrow 0} \frac{F(x_0)-F(x_0-\delta)}{\delta} = \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{1}{\delta} I_\mathrm{L}<\lambda + \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{1}{\delta} I_\mathrm{R}=\lambda + \lim_{\delta\rightarrow 0} \frac{F(x_0+\delta)-F(x_0)}{\delta}$$ And this contradicts the assumption that $F'(x_0)$ existe.