En una vibración de resorte masa seis cuatro, cómo es la energía cinética representada

Question

Esto es de Hobson, Riley, de Bence Métodos Matemáticos, p 322. Un sistema de resorte se describe como sigue (que están flotando en el aire como las moléculas):

Las posiciones de equilibrio de los cuatro masas iguales M de un cuadrado con lados de 2 L se $R_n=\pm L_i\pm L_j$ y desplazamientos de equilibrio se $q_n=x_ni+y_nj$. Según el texto,

"Las coordenadas para el sistema son por lo tanto x1, y1, x2, . . . , y4 y la energía cinética de la matriz a es dado trivialmente por $MI_8$ donde $I_8$ es el 8x8 identidad".

¿Qué significa eso? La velocidad no aparece. ¿Cómo se relaciona esto a la energía?

Answer 1

El origen de la masa de la matriz se encuentra en un cambio de coordenadas Cartesianas a coordenadas generalizadas.

La energía cinética de un sistema de $N$ de las partículas en términos de coordenadas Cartesianas es $$K=\frac 12\sum_{a=1}^Nm_a\dot{\vec r}_a\cdot\dot{\vec r}_a.$$ Si el sistema es scleronomic, es decir, la relación entre coordenadas Cartesianas y coordenadas generalizadas no implican vez explícitamente, $\vec r_i=\vec r_i(q_1,\ldots,q_n)$, luego por la regla de la cadena $$K=\frac 12\sum_{a=1}^Nm_a\sum_{i=1}^n\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_i}\dot q_i\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_j}\dot q_j.$$ Reordenando términos, esto puede ser escrito como $$K=\frac12\sum_{i,j}A_{ij}\dot q_i\dot q_j=\frac 12\dot q^TA\dot q,$$ donde $A_{ij}\equiv \sum_am_a\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial\vec r_a}{\partial q_j}$ son los componentes de la masa de la matriz.

A veces es más seguro calcular el $A$ mediante el uso de su definición. En los sistemas más sencillos, sin embargo es mejor escribir la energía cinética de forma explícita en términos de las coordenadas generalizadas y luego comparar con la forma cuadrática $\frac 12\dot q^TA\dot q$ obtener $A$.

Answer 2

Un ingeniero podría llamar la "masa de la matriz", no la "energía cinética de la matriz". El KE se da por $\frac 1 2 \mathbf{v}^T \mathbf{M} \mathbf{v}$ donde $\mathbf{v}$ es el vector de las componentes de la velocidad $\dot x_1, \dots, \dot x_4, \dot y_1, \dots, \dot y_4$ $\mathbf{M} = M \mathbf{I}_8$ - es decir, un $8\times8$ matriz diagonal con todos los términos de la diagonal igual a $M$.

"La energía cinética de la matriz" parece un nombre tonto de la OMI, porque como usted ha dicho que no representa plenamente a la energía cinética del sistema.

La "matriz de rigidez" (o lo que los matemáticos que escribió su libro la llamada!) puede asimismo ser escrito como una $8\times8$ matriz $\mathbf{K}$, aunque no es tan simple como la masa de la matriz. La energía potencial almacenada en los muelles es el dado por $\frac 1 2 \mathbf{x}^T \mathbf{K} \mathbf{x}$

La lectura de un libro de texto o una página web en la matriz de métodos para el modelado de múltiples grados de libertad (MDOF) sistemas, escrito por los ingenieros o físicos en lugar de para los matemáticos, podría ayudar a comprender las ideas básicas.