¿Cuántos subconjuntos infinitos tiene $\mathbb N$ ¿tiene?

Question

Intenté escribir una derivación de la respuesta, pero me dijeron que mis matemáticas eran incorrectas; por favor, corríjanme.

La cardinalidad de $\mathbb N$ es $\aleph_0$ .
A partir de este conjunto, podemos generar otro subconjunto infinito excluyendo $1$ elemento.
Hay $\aleph_0$ esos posibles subconjuntos que se pueden generar así.
Podemos generar un subconjunto infinito excluyendo $2$ elementos de $\mathbb N$ .
Hay $\aleph_0 \choose 2$ posibles subconjuntos que se pueden generar así.

En general, para cualquier $i$ de $0$ a $\aleph_0$ podemos generar $\aleph_0 \choose i$ esos posibles subconjuntos excluyendo $i$ . Para encontrar el número total de subconjuntos posibles, simplemente sumamos todas las combinaciones.
$$\sum_{i = 0}^{n} {n \choose i} = 2^n$$

Basado en lo anterior: $$\sum_{i = 0}^{\aleph_0} {\aleph_0 \choose i} = 2^{\aleph_0}$$

$2^{\aleph_0} = \aleph_1$
$\therefore$   el número de subconjuntos infinitos de $\mathbb N$ es $\aleph_1$ .

Me doy cuenta de que he excluido el número de subconjuntos infinitos que tienen infinitos complementos.

Para ello, basta con combinar cualquier $k$ $i$ utilizados en la selección anterior, y excluir todos los múltiplos de los productos de $i_1*i_2*i_3*...*i_k$ .
Tenemos $\aleph_0$ tales conjuntos de $i$ con números que aumentan de $0$ a $\aleph_o$ .

No lo tuve en cuenta cuando lo escribí por primera vez, y sólo me di cuenta después. Todavía no he actualizado mi prueba para incluirlo. Sin embargo, este no era el problema de mi prueba; me dijeron que había hecho "malas matemáticas".

Answer 1

$\Bbb N$ tiene $2^{\aleph_0}$ subconjuntos. El número de subconjuntos de tamaño $n$ para cualquier $n$ finito es contable. La unión de un número contable de conjuntos contables es contable, por lo que $\Bbb N$ tiene un número contable de conjuntos finitos...

Answer 2

Algunos de los cálculos que has hecho (introducir las cardinalidades en la función de combinación, por ejemplo) no son válidos. La función $(n,k)\mapsto {n\choose k}$ toma enteros no negativos como argumentos; la expresión ${\aleph_0 \choose n}$ no tiene sentido (si tal cosa se ha definido y es útil, es probable que no lo hayas aprendido en tu clase).

Dejemos que $X$ sea el conjunto de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ . Para demostrar la afirmación, observe que $\vert \mathscr{P}(\mathbb N)\vert =\mathfrak{c}$ . Además, hay $\aleph_0$ subconjuntos finitos de $\mathbb N$ (ya que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb N$ es una unión contable de conjuntos contables). Por lo tanto, $$\aleph_0+\vert X\vert = \mathfrak c$$ Desde $\aleph_0+\alpha=\alpha$ para cualquier cardinal infinito $\alpha$ tenemos $\vert X \vert = \mathfrak c$ .