Límite superior de la suma de $\sum_{i=2}^{N}{\frac{1}{\log(i)}}$

Question

Una de las preguntas en el libro de Sierpinski en teoría del número llevar a la encontrar un ajustado límite superior para la suma siguiente:
$$\sum_{i=2}^N {\frac{1}{\log(i)}}$$

El límite superior trivial como $\frac{N-1}{\log(2)}$ no funcionaría. ¿Alguien por favor sugerir un límite más fuerte?

Answer 1

Dada una disminución de la función positiva, en su caso $f(x) = \frac{1}{\log x},$ es estándar para comparar con la integral de la misma cosa. Esto se hace, en esencia, a partir de cualquier número entero $i$ y el punto de $(i,f(i))$ y el dibujo de un segmento horizontal de longitud exactamente $1$ a la derecha. Este segmento es mayor que la gráfica de los verdaderos valores de la función. Eventualmente llegar al extremo derecho, su $N,$ y el segmento final se extiende sobre el gráfico de a $N+1.$, por Lo que $$ \sum_{i=2}^N f(i) \; > \; \int_2^{N+1} \; f(x) dx. $$ Una antiderivada es $\mbox{li} \; x,$ ver LOGARÍTMICA de la INTEGRAL de UNA buena límite inferior es $$ \mbox{li} \; (N+1) - \mbox{li} \; 2 $$

Hay un proceso similar para un límite superior. Dibujar segmentos a la izquierda. En el caso de que, como aquí, $f(1)$ es indefinido, acaba de empezar el proceso de una tarde y mantener el explícito $f(2)$ plazo. $$ \sum_{i=2}^N f(i) \; < \; f(2) + \; \int_2^{N} \; f(x) dx. $$ Una muy buena límite superior es $$ \frac{1}{\log 2} + \mbox{li} \; N - \mbox{li} \; 2 $$

Hay cualquier número de maneras para discutir el tamaño de $\mbox{li} \; x,$ ver SUMA. Una suma exacta que me gusta es $$ \mbox{li} \; x = \gamma + \log \log x + \sum_{n=1}^\infty \; \frac{(\log x)^n}{n \; n!}. $$