Resolver

Question

Tengo problema con % $ $$\lim_{x\to 0}\frac {e^{3x}-1}{e^{x}-1} $no tengo ni idea qué hacer primero.

Answer 1

sin utilizar la regla de L'Hopital

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{e^x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-1)(e^{2x}+e^x+1)}{e^x-1}=\lim_{x\to 0} e^{2x}+e^x+1=3$$

Answer 2

Sugerencia Reconocen a $e^{3x}-1$ como una diferencia de cubos.

Answer 3

Sugerencia: Tenga en cuenta que $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

Answer 4

Sugerencia: Utilizar equivalentes: $$\mathrm e^{ax}-1\sim_0 ax,\quad\text{hence}\quad \frac{\mathrm e^{ax}-1}{\mathrm e^x-1}\sim_0 \frac{ax}x=a.$ $

Sugerencia alternativa: $$\frac{\mathrm e^{ax}-1}{x}\xrightarrow[x\to0]{}(\mathrm e^{ax})'\,\Big\lvert_{x=0}$ $

Answer 5

Vamos a aplicar la Regla de L'Hospital de aquí; es decir,

$$\lim_{x\to 0}\frac {e^{3x}-1}{e^{x}-1}= \lim_{x\to 0}\frac {3e^{3x}}{e^{x}}=\bbox[5px,border:2px solid #F0A]3\,.$$

O podemos tratar de sustitución si usted no está familiarizado con la regla de L'H:

$$t=e^x\Rightarrow \color{blue}{t\rightarrow1 \: as \: x\rightarrow0} \: \Rightarrow\lim_{x\to 0}\frac {e^{3x}-1}{e^{x}-1}=\lim_{t\to 1}\frac {t^3-1}{t-1}=\lim_{t\to 1}\frac {(t-1)(t^2+t+1)}{t-1}=\lim_{t\to 1}(t^2+t+1)=\bbox[5px,border:2px solid #F0A]3$$

Lo que ves arriba es la gráfica de $y=\frac{t^3-1}{t-1}$. Como se puede ver que no está definido en $t=1$, pero tiene un límite que es igual a$3$$t=1$.