¿Cuál es un ejemplo físico de una bifurcación en silla de montar?

Question

Estoy haciendo una presentación sobre bifurcaciones y me gustaría físico ejemplos que acompañan a cada tipo de bifurcación pero no soy capaz de encontrar o pensar en algún buen ejemplo de una simple Bifurcación de Nudo de Silla.

La bifurcación del nodo de silla más básica puede describirse como

Cualquier tipo de sistema que no tiene soluciones de equilibrio o de estado estacionario inicialmente, pero que se bifurca al variar un parámetro para tener 2 soluciones, una estable y otra inestable.

o viceversa, cualquier sistema que tenga 2 soluciones que desaparezcan al variar un parámetro.

Answer 1

Suponga que tiene una pequeña bola en un potencial periódico. El periodo del potencial es mucho mayor que el tamaño de la bola. (Se puede ver como una cuenta en un tablero de lavado). Este sistema está en un agua (o cualquier líquido viscoso). Si se inclina la tabla de lavar, entonces en ángulos mayores que algún umbral, ya no hay mínimos ni máximos. La bola cae a lo largo del tablero, porque no existen puntos de equilibrio.

De hecho, cualquier sistema, que es equivalente al movimiento amortiguado de una partícula en un potencial del tipo específico, tendrá bifurcación de nodo de silla de montar. La ecuación correspondiente es $$ {d^2 x \over dt^2} + \gamma {d x \over dt} + {d U(x, C) \over dx} = 0, \quad (1) $$ donde $\gamma >0$ es el parámetro de disipación, $C$ es el parámetro del potencial. El potencial $U(x, C)$ debe cumplir dos condiciones. (i) Debe tener al menos 2 extremos (máximo y mínimo) para algún rango de $C$ . (ii) En algún valor de $C$ las posiciones de máximo y mínimo coinciden, y desaparecen.

La disipación "transforma" un punto central en un nodo (para una gran disipación) a través de un foco (para una pequeña disipación). En el ejemplo, el agua desempeña un papel de disipación. Está claro que la bifurcación silla-nodo está estrechamente relacionada con las bifurcaciones silla-centro y silla-foco.

Otro ejemplo (más físico) es una unión Josephson (superconductor-insulador-superconductor) bajo corriente constante $I$ . La ecuación correspondiente (en forma adimensional) es $$ {d^2 \phi \over dt^2} + \gamma {d \phi \over dt} + \sin(\phi) = I, \quad (2) $$ donde $\phi$ es la diferencia de las fases cuánticas de los dos SC. El potencial correspondiente es $U(x,I)= 1 - \cos(\phi) -I \phi$ . Para algún valor de I, se produce la bifurcación del nodo de silla en la Ec.(2).

Answer 2

Sugiero encarecidamente el libro de Steven H. Strogatz Dinámica no lineal y caos que tiene varios ejemplos sencillos de todas las bifurcaciones básicas en algunos campos diferentes. Uno interesante en biología es el de las luciérnagas que sincronizan sus destellos de luz.

Como ejemplo físico 1D (para el que el término nodo de la silla de montar La bifurcación parece un poco impar porque las sillas de montar y los nodos son realmente puntos fijos de dimensión superior, pero el mecanismo es exactamente el mismo en 1D), Strogatz pasa al problema de un péndulo sobreamortiguado impulsado por un par constante $\Gamma$ . (así que un péndulo sumergido en algún fluido viscoso como el aceite o la miel y conectado a algún motor que le aplique un par constante) Si $L$ es la longitud del péndulo, $m$ su masa y $\theta$ el ángulo entre el péndulo y la dirección vertical, entonces la ley de Newton produce

$$mL^2\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + mgL\sin{\theta} = \Gamma$$

donde $b$ es un factor de amortiguación viscoso. Ahora, en el límite de sobreamortiguación de grandes $b$ el primer término (el término de inercia) se puede despreciar frente a los demás y obtenemos la ecuación

$$b\dot{\theta} + mgL\sin{\theta} = \Gamma.$$

Podemos simplificar el análisis transformando el problema en variables adimensionales. Podemos hacerlo dividiendo por un par. Una buena opción es dividir por $mgL$ , dando lugar a la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{b}{mgL}\dot{\theta} = \frac{\Gamma}{mgL} - \sin{\theta}.$$

Posteriormente, sustituyendo $\tau = \frac{mgL}{b}$ et $\gamma = \frac{\Gamma}{mgL}$ se obtiene la expresión adimensional:

$$\theta' = \gamma - \sin{\theta}$$

donde $\theta' = \frac{d\theta}{d\tau}$ . Ahora es fácil ver que este sistema sufre una bifurcación de nudo de silla como $\gamma$ varía.

• Para $\gamma > 1$ , $\theta'$ nunca es cero, lo que significa que el péndulo sigue girando continuamente, sin puntos fijos alrededor. Físicamente, ya que $\gamma$ es la relación entre el par constante aplicado y la magnitud del par gravitatorio, esto significa que la gravedad nunca es capaz de anular completamente el par aplicado. Por lo tanto, es de esperar que no haya puntos fijos.
• Para $\gamma = 1$ , $\theta'$ es idénticamente cero para $\theta = \pi/2$ , lo que significa que hay un punto fijo para el péndulo que cuelga horizontalmente.
• Para $\gamma < 1$ , $\theta'$ tiene dos ceros situados simétricamente alrededor de $\theta = \pi/2$ , lo que significa que ahora hay dos puntos fijos, uno estable y otro inestable. Para saber cuál es estable, se puede considerar el signo de $\theta'$ en cualquiera de los dos, pero por motivos físicos ya está claro que el inferior (por debajo de $\pi/2$ así que por debajo de la horizontal) es la estable. Sobre todo si tenemos en cuenta lo que ocurre si $\gamma$ disminuye aún más hacia $0$ .
• Para $\gamma = 0$ , $\theta'$ es sólo una función sinusoidal, por lo que tiene un cero en $\theta = 0$ y uno en $\theta = \pi$ (péndulo invertido). Obviamente, el péndulo invertido es inestable, por lo que nuestra conclusión sobre la estabilidad de los puntos fijos era correcta.

Del análisis anterior se desprende que la bifurcación del nodo de la silla de montar se produce en $\gamma = 1$ donde nacen dos puntos fijos (o, lo que es lo mismo, si nos acercamos a $\gamma \rightarrow 1^-$ donde un punto fijo estable y otro inestable colisionan y se aniquilan mutuamente).