Mostrando el producto directo contable de $\mathbb{Z}$ no es proyectiva

Question

Estoy tratando de demostrar que el producto directo $M = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\times \cdots$ no es proyectiva $\mathbb Z$ -módulo y estoy atascado cerca del final de la prueba debido al uso de los autores de la palabra infinitamente divisible.

Voy a enumerar el esbozo de la prueba e intentaré explicar dónde estoy atascado.

Procedemos por contradicción, así que supongamos $M$ está contenida en algún módulo libre $F$ con base $B$ . Establecer $N = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus\cdots$ y observar que $N$ es un submódulo de $M$ .

Desde $N \subset F$ existe $B' \subset B$ tal que $B'$ es una base para $N$ y considerar el módulo libre $F' \subset F$ determinado por $B'$ .

Aviso $F'+M \subset F$ da $M/(M \cap F') \cong (F'+M)/F' \subset F/F'$ por lo que tenemos $M/(M \cap F') $

El siguiente paso de la prueba requiere considerar secuencias de signos, así que dejemos $s = (s_1, s_2, \ldots)$ sea una secuencia de signos más y menos y considere un elemento $m_s := (s_1 , 2 s_2, \ldots , k! s_k, \ldots) \in M$

El siguiente punto de la prueba es lo que no entiendo, los apuntes que estoy utilizando dicen $m_s +(M \cap F')$ es infinitamente divisible en $F/F'$ y usar esto para mostrar $M$ no puede estar contenido en ningún $Z$ módulo. Mi pregunta es

¿Cómo mostramos $m_s +(M \cap F')$ es infinitamente divisible en $F/F'$ ¿y cómo traducir la palabra infinitamente divisible en las definiciones de Hungerford o Dummite y Foote?

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta que si $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ es libre tiene una base $\beta$ con cardinalidad no contable $\kappa$ , considerados como conjuntos, entonces la cardinalidad de $Hom(\beta, \mathbb{Z})$ es $2^{\kappa}>\kappa$ . Ahora el argumento final es que si se toma el morfismo $f$ de $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ a $\mathbb{Z}$ y se compone con la inclusión en la coordenada j $i_j$ , $fi_j=0$ para casi todos los $j\in\mathbb{N}$ . Es decir, para casi todos los elementos de la base el morfismo es cero, a partir de aquí la cardinalidad de $Hom(\mathbb{Z}^{\mathbb{N}},\mathbb{Z})$ es $\kappa$ , contradicción!!!!!, $Hom(\mathbb{Z}^{\mathbb{N}},\mathbb{Z})$ , $ Hom(\beta, \mathbb{Z})$ deben tener la misma cardinalidad.