La definición más básica de la suma es: $a+b$ es la cardinalidad de un conjunto que es un discontinuo de la unión de dos conjuntos de cardinalidades $a$$b$. Esto coincide con la intención de interpretación de la adición de números naturales y se extiende fácilmente a $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ por la costumbre de construcciones.
La definición más básica de la multiplicación es: $a\cdot b$ es la cardinalidad del producto cartesiano de dos conjuntos de cardinalidades $a$$b$. Esto coincide con la intención de interpretación de números naturales y se extiende fácilmente a $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ por la costumbre de construcciones.
La definición más básica de la exponenciación es: $a^b$ es la cardinalidad del conjunto de mapas a partir de un conjunto de cardinalidad $b$ a un conjunto de cardinalidad $a$. Ya que no es exactamente un mapa de $\emptyset$ a cualquier otro conjunto (namley la inclusión del mapa), tenemos $a^0=1$ para todas las cardinalidades $a$, incluyendo a $a=0$. En el otro lado, para un conjunto no vacío, hay no hay mapas para el conjunto vacío, por lo tanto $0^b=0$ todos los $b\ne 0$.
Las reglas básicas de la exponenciación son válidos para esta definición (como comprobable por el simple conjunto de la teoría de argumentos), por ejemplo,$a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $(a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c$, $a^{b\cdot c}=(a^b)^c$. Todo esto está muy bien y bonito y consistente y por lo tanto dar s definición de la exponenciación en $\mathbb N_0$. Usted tiene problemas ya cuando el intento de ampliar la definición de a $\mathbb Z$ (lo que es $0^{-1}$?). Usted tendrá más problemas a la hora de ampliar a $\mathbb Q$ (mirar hacia fuera para el error en $-2 = (-8)^{\frac13}=(-8)^{\frac 26}=((-8)^2)^{\frac16}={64}^{\frac16}=2$). Problemas en la negativa de continuar cuando el intento de ampliar la definición de a $\mathbb R$ por continuidad (debido a $\frac{2n}{2n+1}\to 1$, debemos tener $(-1)^{\frac{2n}{2n+1}}\to -1$, de hecho ya lo racional extensión no es continua en a $(0,0)$), por no hablar de $(-1)^{\frac12}=?$). Todo esto es la razón por la que la existencia de una buena función $\exp\colon \mathbb C\to \mathbb C$ con las propiedades fundamentales $\exp(x+y)=\exp(x)\cdot\exp(y)$ $\exp(0)=1$ que se asemejan a las anteriores leyes de exponenciación tan bien, es tomado como una forma de definir la exponenciación en $\mathbb C$ con su ayuda (pero aún con restricciones debido a la ramificación) - incluso el sugerente la notación $e^z$ $\exp(z)$ es tan común!
Sin embargo, esta definición obliga a salir de ciertas lagunas en el fin de mantener la continuidad. Mientras que uno podría elegir un poco de la rama de corte distinto a la negativa de reales, $0^0$ siempre ser sacrificado.
En fin, lo que queremos es que la persistencia (es decir: como pocas excepciones a teoremas como sea posible). Por lo tanto, en la $\mathbb C$ y probablemente ya en $\mathbb Q$, es preferible dejar los $0^0$ indefinido.
Pero por ejemplo, cuando se trabaja con números enteros $0^0=1$ es preferible.
Tenga en cuenta también el siguiente ejemplo:
Uno escribe polinomios, por ejemplo, como $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$. Aquí es convencional para uso $X^0=1$, incluso si uno calcula el $P(0)$. Esto es mucho más conveniente que la necesidad de escribir $P(X)=a_0 +\sum_{k=1}^n a_k X^k$.
Algunos podrían argumentar que las $X\ne 0$ como elemento del anillo de $\mathbb Z[X]$, por lo $X^0=1$ no hace referencia al problema de si $0^0$ está definido o no.
ACTUALIZACIÓN: Para todas las operaciones matemáticas, es relevante cómo se define.
Si me ZFC como "la" base de la mayoría de las matemáticas, no hay un solo axioma de que se ocupan de la exponenciación. De hecho, de ti no son ni siquiera los axiomas sobre la suma o la multiplicación. Así, por ejemplo, $2+2=4$ no es un axioma o postulado, es simplemente un teorema (basado en las definiciones de "+" y, por supuesto, de "2" y "4"). He descrito anteriormente, como la suma y la multiplicación se definen los elementos adecuados conjuntos de números. Contrario a estas dos operaciones de exponenciación como un par de problemas: Hay varias maneras de definir es, esencialmente, una es la que viene de la exponenciación de números ordinales (y da $0^0=1$) y uno que viene de la exponencial y el logaritmo de la función y su definición de poder de la serie (además de algunas convenciones acerca de cómo tratar a multivaluedness del logaritmo en el caso complejo), que tiene dificultad en la asignación de un valor a $0^0$. Así, mientras la primera definición no se aplica a todos los generales reales o números complejos y no asignar por ejemplo, el valor de $-1$ a la expresión $e^{\pi i}$, la segunda definición no se asigna un valor a $0^0$. Así, bajo una inspección más cercana hay diffeent de las operaciones que se conoce bajo el nombre de exponenciación (y el mismo nombre se justifica e incluso motivado por el hecho de que ambas definiciones están de acuerdo que definir un valor). Por lo tanto puede depender del contexto, ya sea o no de asignar un valor a la expresión de $0^0$ (o tal vez incluso que el valor de asignar?). De cualquier manera $0^0=1$ no es un axioma, sino que es parte de una definición o un teorema siguiente de la específica de la definición de exponenciación.
A continuación, de nuevo, usted puede consoider todas las definiciones como extensiones de una teoría mediante la introducción de nuevos símbolos y los axiomas que describen ellos. Si esta es la forma en que se mire, a continuación, $0^0=1$ puede ser visto como un axioma independiente iff no es parte, consecuencia de la definición básica de la exponenciación - ver arriba.
