$N \lhd G, G/N$ son Nilpotentes $ \not \Rightarrow G$ es Nilpotente

Question

Al parecer, si tenemos $N \lhd G, G/N$ son Nilpotentes $ \not \Rightarrow G$ es Nilpotente.

Estoy tratando de encontrar un ejemplo sencillo de esto.

Actualmente parece poco intuitivo ya que si tenemos $N, G/N$ nilpotente, entonces podemos "machacar" elementos en $G/N$ por elementos en $G$ para que entren en $N$ en un número finito de pasos, y también podemos "machacar" los elementos en $N$ hasta la identidad en un número finito de pasos, por lo que inicialmente pensaría que la afirmación contraria es cierta.

¿Podría alguien iluminarme sobre cómo pensar en esto? ¿Algún contraejemplo evidente?

Answer 1

Un ejemplo clásico es que $S_3$ no es nilpotente, pero $A_3\cong\Bbb{Z}/3\Bbb{Z}$ y $S_3/A_3 \cong \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ son ambos nilpotentes, y $A_3\lhd S_3.$ Así, $S_3$ es un ejemplo de este tipo de grupo.

Answer 2

$S_3$ no es muy esclarecedor desde mi punto de vista, porque es en cierto modo demasiado agrupado; se puede considerar el grupo fundamental de la botella de Klein como un ejemplo más pintoresco. Es un producto semidirecto $\mathbb Z \rtimes \mathbb Z$ donde la acción es por negación. (hay una presentación: $\langle a, b \, | \, [a, b] = b^2\rangle$ si eres más aficionado a la combinatoria) Calcular su serie central inferior es un ejercicio interesante.

También puede ser útil leer alguna demostración del teorema de Hall (más bien probarlo por uno mismo): si para $N \triangleleft G$ ambos $G/[N, N]$ y $N$ son nilpotentes, entonces $G$ es.