¿Resolución de $ \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 $ - es mi solución correcta?

Question

Tengo una ecuación que estoy tratando de resolver:

$$ \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 $$

Después de reflexionar un rato y probar cosas diferentes, esta cadena de pasos es lo que terminó con:

$$ \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 $$

$$ \sin x = 1 - \sqrt 3 \cos x $$

$$ \left(\sin x \right)^2 = \left(1- \sqrt 3 \cos x\right)^2 $$

$$ \sin^2 x = 1 - 2 \sqrt 3 \cos x + 3 \cos^2 x $$

$$ 2 \sqrt 3 \cos x - 3 \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $$

$$ 2 \sqrt 3 \cos x - 3 \cos^2 x = \cos^2 x $$

$$ 2 \sqrt 3 \cos x = \cos^2 x + 3 \cos^2 x $$

$$ 4 \cos^2 x = 2 \sqrt 3 \cos x $$

$$ \frac{4 \cos^2 x}{\cos x} = 2 \sqrt 3 $$

$$ 4 \cos x = 2 \sqrt 3 $$

$$ \cos x = \frac{2 \sqrt 3}{4} $$

$$ \cos x = \frac{\sqrt 3}{2} $$

La fracción $ \frac{\sqrt 3}{2} $ puede ser reescrita como $ \cos \left(\pm \frac{\pi}{6}\right) $, por lo que mis soluciones son:

$$ \cos x = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \quad \text{or} \quad \cos x = \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) $$

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{or} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $$

Desde que me anteriores en exponentiated ambos lados tengo que revisar mis soluciones:

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \Rightarrow \text{LHS} = \sin \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi\right) + \sqrt 3 \cos \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi\right) = 2 \not = \text{RHS} $$

$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi \Rightarrow \text{LHS} = \sin \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi\right) + \sqrt 3 \cos \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi\right) = 1 = \text{RHS} $$

Dejando $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $ como la respuesta desde su contrapartida positiva no era igual a $ 1 $.

$$ \text{Answer:} \: x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $$

He hecho nada malo ¿o es que esta se vea bien? Realmente no he hecho esto antes, así que se siente seguro de que no sólo se trata de la solución, pero también mis pasos y notación...

Answer 1

Te fuiste un poco a la perdición después de $4 \cos^2 x = 2 \sqrt 3 \cos x$, cuando se divide por $\cos x$: lo si $\cos x=0$?

Es mejor en ese momento para llevar todo a un lado y el factor: $4\cos^2x-2\sqrt3\cos x=0$, lo $2\cos x(2\cos x-\sqrt3)=0$. Ahora apelar al hecho de que si un producto es $0$, al menos uno de los factores debe ser $0$. Obviamente $2\ne 0$, lo $\cos x=0$ o $2\cos x-\sqrt3=0$. Como sucede, tanto de estas posibilidades dará las soluciones. Usted encontró el segundo set, pero no el primer set.

Si $\cos x=0$, tenemos $\sin x=1$ tener una solución. Si $\sin x=1$, $\cos x$ automáticamente se $0$, por lo que usted sólo tiene que encontrar las soluciones a $\sin x=1$ para completar su solución.

Answer 2

Hay un truco interesante: $$\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \\\\ = 2 \left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt 3}{2} \cos x\right) \\\\ = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right)\sin x + \sin\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right)\cos x \right)\\\\= 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right) = 1.$ $

Cuando es $$\sin\left(x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right) = 1/2$ $

¿cierto?

Answer 3

Tenga en cuenta que la ecuación de $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1$ no es equivalente a la ecuación de $(\sin x)^2=(1−\sqrt{3} \cos x)^2$.

Answer 4

Puede contraer el lado izquierdo en una función sinusoidal simple: $$\sin(x)+\sqrt3\cos(x) = 2\sin(x+\pi/3)$ $ luego, dividiendo por dos, todo lo que queda es resolver lo siguiente: $$\sin(x+\pi/3) = \frac{1}{2}$ $

Wikipedia tiene un artículo sobre identidades trigonométricas útiles, incluyendo combinaciones lineales de pecado y lechuga romana.

Answer 5

No hay un método estándar para resolver ecuaciones de la forma:

$$ Un \sen x + B \cos x = C $$

Dividir ambos lados por $\sqrt{A^2 + B^2}$:

$$ \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos x = \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Encontrar $\theta \in [0, 2\pi)$ por lo que:

$$ \sin \theta = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ \cos \theta = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ $$

Y $\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ por lo que:

$$ \sin \phi = \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Si usted no puede encontrar un $\phi$, entonces la ecuación no tiene soluciones. (Por ejemplo, si $\frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} > 1$.

Por lo tanto:

$$ \cos \theta \sin x + \sin \theta \cos x = \sin \phi $$

El uso de la suma de ángulos de identidad, tenemos:

$$ \sin(x + \theta) = \sin \phi $$

Por lo tanto:

\begin{align*} x_1 &= \phi - \theta + 2 \pi n \\ x_2 &= \pi - \phi - \theta + 2 \pi n \end{align*} (Donde $n \in \mathbb{Z}$)

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Ahora, vamos a aplicar este método a su pregunta. Tenemos:

$$ A = 1, B = \sqrt{3}, C = 1 \\ \sqrt{A^2 + B^2} = 2 \\ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \theta = \frac{1}{2}, \theta = \frac{\pi}{3} \\ \sin \phi = \frac{1}{2}, \phi = \frac{\pi}{6} $$

Por lo tanto:

$$ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n \\ x_2 = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \\ $$