Orden de $b$ cuando $ba=ab^3$ y $\operatorname{ord}(a)=4$.

Question

Que $G$ ser un grupo no abeliano y que $a,b \in G$ tal que

1. $\operatorname{ord}(a) = 4$, y
2. $ba=ab^3$

Teniendo en cuenta que $\operatorname{ord}(b)$ es un número primo impar, calcular su valor.

Por lo tanto, se puede $\operatorname{ord}(b)$ $3,5,7,11,13,...$ pero no tengo ni idea cómo puedo calcularlo precisamente.

Estaré agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

Usted puede encontrar un múltiplo del orden del $b$ cambiando de $a^4 = e$ pasado $b$, $a$ de uno tras otro:

$$\begin{align} b &= b\cdot e = b(a^4) = (ba)(a^3) = a(b^3a)a^2\\ &= a (b^2ab^3)a^2 = a(bab^6)a^2 = a^2 (b^9) a^2\\ &= a^3(b^{27}a) = a^4 b^{81}\\ &= b^{81} \end {Alinee el} $$

Así que tenemos $b^{81} = b \iff b^{80} = e$, por lo tanto, el orden de $b$ divide $80 = 2^4\cdot 5$. El orden de $b$ es un curioso primer dividiendo $80$, por lo tanto, $5$.

Answer 2

Además, es un poco igual al intento de @Daniel. Tenemos $ba=ab^3$ así tenemos $$a^{-1}ba=b^3\to b=ab^3a^{-1}=(aba^{-1})^3$ $ así: $$b=(aba^{-1})^3=\left(a(aba^{-1})^3a^{-1}\right)^3=(a^2b^3a^{-2})^3=(a^2ba^{-2})^{3^2}=...=(a^4ba^{-4})^{3^4}=b^{81}$ $