Es un espacio topológico que es simplemente conexa pero la ruta de acceso local no conectada

Question

¿Es un espacio topológico que es simplemente conexa pero la ruta de acceso local no conectada? Creo que estas dos propiedades no tienen ninguna relación en absoluto pero no puedo encontrar un ejemplo.

Answer 1

Sí. Los trabajos de espacio peine. Es el subespacio de $\mathbb{R}^2$ $$(\{0\} \times [0,1]) \cup ([0,1] \times \{0\}) \cup_{n \in \mathbb{Z}^+} (\{1/n\} \times [0,1] )$ $It es fácil ver que este espacio es contractible (colapso las púas del peine para $x$-eje, entonces contrato el intervalo) y por lo tanto simplemente conectado, pero no es localmente trayectoria conectado. No hay ningún barrio abierto de un $(0, y)$ $0 < y \leq 1$ que es conectado.

Answer 2

El Cantor-Knaster en Hipersemillas.com-Kuratowski ventilador se construye tomando el conjunto de Cantor $\mathcal{C}$ $[0,1]\times\{0\}\subseteq\Bbb R^2$ y trazar una línea a $p=\left(\frac12,\frac12\right)$ de cada $c\in \mathcal{C}$. Esto es homotopía-equivalente a un punto, por lo tanto, es simplemente conectado, pero como cada punto en el Cantor fijado es un punto límite de sí mismo, cualquier conjunto abierto no contiene $p$ no será camino conectado.

Answer 3

cuasi-círculo sería otro ejemplo útil contador, esto no es localmente trayectoria conectado. Ver aquí ex1.3.7 que es simple conectado (http://www.math.ku.dk/~moller/f03/algtop/opg/S1.3.pdf).