Tarea: Mapeo suave$f$ satisfying$f\circ f=f$

Question

Este es un ejercicio de Análisis Matemático por Zorich, en el apartado 12.1.

Deje $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ ser un suave asignación de satisfacer la condición de $f\circ f=f$.

$\quad$a) Demostrar que el conjunto de $f(\mathbb{R}^n)$ es una superficie lisa en $\mathbb{R}^n$.

$\quad$b) Por lo que la propiedad de la asignación de $f$ es la dimensión de la superficie determinada?

De acuerdo a Zorich, la 'superficie lisa' aquí tiene el mismo significado que "colector" en el Espacio Euclidiano. Así que para probar que esto es necesario para darle un atlas. Pero, ¿cómo obtener las cartas locales?

La única idea que tengo en mente es realizar la diferenciación para obtener la matriz de la igualdad: $$f'(f(x))\cdot f'(x)=f'(x)$$ sin ningún progreso.

Gracias, de hecho si me puede dar alguna ayuda!

Answer 1

Para empezar, he aquí algunas observaciones.

1. Si$x\in f(\mathbb{R}^n)$ entonces$f(x)=x$. De hecho, eso es si y sólo si.

2. Para tal$x$, su identidad de matriz se reduce a$f'(x)^2=f'(x)$.

3. El rango de$f'(x)$ es en general semicontinuo en función de$x$. Necesitas establecer algo más - la continuidad te daría que es constante.