Si $n = m^3 - m$ para algún número entero $m$ entonces $n$ es un múltiplo de $6$

Question

Estoy tratando de enseñarme a mí mismo las matemáticas (no tengo acceso a un profesor), pero no estoy llegando muy lejos. Sólo estoy trabajando con los ejercicios al final del capítulo del libro, pero lamentablemente no hay soluciones.

De todos modos, estoy tratando de probar

Si $n = m^3 - m$ para algún número entero $m$ entonces $n$ es un múltiplo de $6$ .

Pero no sé cómo abordarlo. He pensado en empezar con algo como $n = 6k$ para el múltiplo y que $m^3$ es crucial, pero no sé cómo podría ayudar o dónde ir después. ¿Alguien tiene alguna pista o sugerencia? Por favor, no publique la prueba completa porque quiero resolverla yo mismo, gracias.

Answer 1

Empecemos por factorizar $n:$$$ n = m^3-m = m(m^2-1) = (m-1)m(m+1)$$

Nota $(m-1),m$ y $(m+1)$ son tres enteros consecutivos por lo que (al menos) uno de ellos debe ser múltiplo de $2$ y uno de ellos debe ser un múltiplo de $3$ .

Answer 2

Sugerencia $\rm\ mod\ 6\!:\ 0^3\!\equiv 0,\ (\pm1)^3\!\equiv \pm1,\ (\pm2)^3\!\equiv \pm2,\ 3^3\!\equiv 3\:\Rightarrow\:n^3\equiv n\ \ $ QED

Nota $ $ Es más fácil a través de equilibrado residuos $\{0,\, \pm1,\, \pm2,\, 3\}$ contra. $\,\{0,1,2,3,4,5\},\,$ por $\rm\:4\equiv -2,\:$ $\rm 5\equiv -1.\:$

No es difícil demostrar una teorema de Euler-Fermat generalizado, a saber:

Teorema $\ $ Para los naturales $\rm\: e,m,n\: $ con $\rm\: e,m>1 $

$\rm\qquad\qquad\ m\ |\ n^e-n\ $ para todos $\rm\:n\ \iff\ m\:$ es libre de cuadrados y primo $\rm\: p\:|\:m\: \Rightarrow\: p\!-\!1\ |\ e\!-\!1 $

El suyo es un caso especial $\rm\:e={\bf\color{blue}3},\ m = 6 = {\bf\color{#C00}2}\cdot{\bf\color{#0A0}3}\:$ es libre de cuadrados, y $\rm\, {\bf\color{#C00}2}\!-\!1,{\bf\color{#0A0}3}\!-\!1\:|\:{\bf\color{blue}3}-1.$