En su libro Introducción a la Topología, Bert Mendelson pide a demostrar que
$$(\Bbb Z,d_p)$$
es un espacio métrico, donde $p$ es una prima fija y
$$d_p(m,n)=\begin{cases} 0 \;,\text{ if }m=n \cr {p^{-t}}\;,\text{ if } m\neq n\end{cases}$$
donde $t$ es el multiplicty con que $p$ divide $m-n$. Ahora, es casi trivial para comprobar los primeros tres propiedades, a saber, que
$$d(m,n) \geq 0$$
$$d(m,n) =0 \iff m=n$$
$$d(m,n)=d(n,m)$$
y la única laborioso fue comprobar la última propiedad (el triángulo de la desigualdad). Procedí de la siguiente manera:
Deje $a,b,c$ ser enteros, y vamos a
$$a-b=p^s \cdot k$$
$$b-c=p^r \cdot l$$
donde $l,k$ no son divisibles por $p$.
A continuación, $$a-c=(a-b)+(b-c)=p^s \cdot k+p^r \cdot l$$
Ahora tenemos tres casos, $s>r$, $r>s$ y $r=s$. Hemos respectivamente:
$$a-c=(a-b)+(b-c)=p^r \cdot(p^{s-r} \cdot k+ l)=p^r \cdot Q$$ $$a-c=(a-b)+(b-c)=p^{s} \cdot( k+p^{r-s} \cdot l)=p^s \cdot R$$ $$a-c=(a-b)+(b-c)=p^s \cdot (k+l)=p^s \cdot T$$
En cualquier caso,
$$d\left( {a,c} \right) \leqslant d\left( {a,b} \right) + d\left( {b,c} \right)$$
desde
$$\eqalign{ & \frac{1}{{{p^r}}} \leqslant \frac{1}{{{p^s}}} + \frac{1}{{{p^r}}} \cr & \frac{1}{{{p^s}}} \leqslant \frac{1}{{{p^s}}} + \frac{1}{{{p^r}}} \cr & \frac{1}{{{p^s}}} \leqslant \frac{1}{{{p^s}}} + \frac{1}{{{p^s}}} \cr} $$
También podría ser el caso de $k+l=p^u$ algunos $u$, de modo que la última desigualdad es
$$\frac{1}{{{p^{s + u}}}} \leqslant \frac{1}{{{p^s}}} + \frac{1}{{{p^s}}}$$
$(1)$ Me estoy perdiendo de algo en la anterior? El autor pide a demostrar que, de hecho, si $t=t_p(m,n)$ es el exponente de $p$, que
$$t\left( {a,c} \right) \geqslant \min \left\{ {t\left( {a,b} \right),t\left( {b,c} \right)} \right\}$$
Que parece seguir de lo anterior, unido ya que si $s \neq r$
$$t\left( {a,c} \right) = t\left( {a,b} \right){\text{ or }}t\left( {a,c} \right) = t\left( {b,c} \right)$$
y si $s=r$
$$t\left( {a,c} \right) \geqslant t\left( {a,b} \right){\text{ or }}t\left( {a,c} \right) \geqslant t\left( {b,c} \right)$$
$(2)$ ¿Hay alguna lectura que usted puede sugerir en $p$-adicity?
