¿Cómo podemos demostrar que$\sqrt{\phi}=5^{1/4}\cos\left({1\over 2}\tan^{-1}(2)\right)?$

Question

$$\text{Let}\ \sqrt{\phi}=5^{1/4}\cos\left({1\over 2}\tan^{-1}(2)\right)\tag1$ $ Donde$\phi={\sqrt5+1\over 2}$

Un intento:

ps

Entonces$$\tan^{-1}(2)={\pi\over 2}-\tan^{-1}{1\over 2}=2\tan^{-1}{1\over \phi}\tag2$ se convierte en

$(1)$ $ Aplicar fórmula compuesta$$\sqrt{\phi}=5^{1/4}\cos\left({\pi\over 4}-{1\over 2}\tan^{-1}{1\over 2}\right)\tag3$ $

Parece que se está haciendo más complicado que antes, así que ¿cómo podemos probar$$\sqrt{\phi}=5^{1/4}\cdot{\sqrt{2}\over 2}\left[\cos\left({1\over 2}\tan^{-1}{1\over 2}\right)+ \sin\left({1\over 2}\tan^{-1}{1\over 2}\right)\right]\tag4$

Answer 1

ps

Por otro lado:$$\sqrt{\phi}=\frac{\sqrt{\sqrt5+1}}{ \sqrt2}=5^{1/4}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt5}}}{ \sqrt2}$ so:$ \cos ( \arctan x)= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ $

Entonce

Finalmente:$$\cos ( \frac{1}{2}\arctan x)=\sqrt{\frac{\cos ( \arctan x)+1}{2}}=\sqrt{\frac{ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+1}{2}}$ $

Answer 2

Observa eso

ps

y como$$\cos x=2\cos^2\frac x2-1\implies\cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{\cos x+1}2}$, entonces obtendremos:

ps

así que finalmente

ps

Answer 3

De ( 2 ) :