Mostrar$A\cap B \neq \varnothing \Rightarrow \operatorname{dist}(A,B) = 0$ y$\operatorname{dist}(A, B) = 0 \not\Rightarrow A\cap B \neq \varnothing$

Question

Tengo una pregunta

Deje $d$ ser una métrica en $X$, y definir el set a distancia

$$\operatorname{dist}(A,B) = \inf\{d(x,y): x\in A, y \in B\}$$

donde $A,B \subseteq X$ son conjuntos no vacíos

Mostrar que $A\cap B \neq \varnothing \Rightarrow \operatorname{dist}(A,B) = 0$, e $\operatorname{dist}(A, B) = 0 \not\Rightarrow A\cap B \neq \varnothing$

Primera: ($A\cap B \neq \varnothing \Rightarrow \operatorname{dist}(A,B) = 0$)

Trivial, ya que $A \cap B \neq \varnothing \implies \exists z \in A$ y $B$, lo $\operatorname{dist}(A,B) = \inf\{d(z,z)\} = 0$

Segundo: ($\operatorname{dist}(A, B) = 0 \not\Rightarrow A\cap B \neq \varnothing$)

Queremos producir $A \cap B = \varnothing$ tal que $\operatorname{dist}(A,B) = 0$. Hay un espacio métrico donde esto puede suceder?

He comprobado la métrica discreta, todas las $\ell_p$ métricas. Yo no creo que usted puede tener distintos conjuntos con su distancia de cero.

Answer 1

Let$X=\mathbb{R}$, con la métrica euclidiana. Permitir$A=(-1,0)$ y$B=(0,1)$. Entonces esta es la contradicción deseada.

Para que la segunda sentencia sea$\implies$, necesita que$A$ y$B$ sean compactos.

Answer 2

Sugerencia: piense$(0,1)$ y$(1,2)$.

Answer 3

Buscar conjuntos de $A$$B$, de modo que $A \cap B = \emptyset$ pero $\overline{A} \cap \overline{B} \ne \emptyset$ donde $\overline{E}$ es el cierre de un conjunto $E$ $d$- métrica. Esto funcionará si los conjuntos son compactos.

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Algunos intuición acerca de por qué esto es lo que usted busca: Debido a que usted está buscando en las secuencias dentro de los conjuntos de $A$ $B$ aproximación de la distancia entre el$A$$B$, es natural pensar de los cierres de $A$ $B$ lugar. Así que usted está buscando para los dos conjuntos cuyos cierres se cruzan, pero que no se cruzan, que es por qué te gustaría buscar algo que falta una parte de sus límites.

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Para más Googlear: Esta es la métrica de Hausdorff.