La autocomposición anidada de$f(x) = \frac{\sqrt3}2x+\frac12\sqrt{1-x^2}$

Question

Se define la función$f(x)$, para$|x|\leqslant1$ por$$f(x)=\frac{\sqrt 3}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}.$$ Find an expression for $$f^n(x)=\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f(x)}_{\text{n times}},$$where $ n \ in \ mathbb {Z ^ } $.

Ahora lo que hice fue encontrar primero$f^2(x)$ y mi intención fue encontrar$f^3(x)$ y otros pocos casos para reconocer un patrón. Sin embargo,$f^2(x)$ es realmente muy complicado y no simplifica demasiado.

Estoy buscando sugerencias sobre cómo abordar el problema y no soluciones completas.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Si usted nota que $x$ puede ser escrito como $\cos{\phi}$, luego

$$f(\cos{\phi}) = \cos{\left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)}$$

En la siguiente iteración,

$$f[f(\cos{\phi})] = f\left [ \cos{\left(\phi-\frac{\pi}{6}\right)} \right ] = \cos{\left(\phi-\frac{2 \pi}{6}\right)} $$

Espero que veas el patrón...

EDITAR

Esta respuesta no es totalmente correcta, simplemente es formalmente correcta, como se ha señalado por @achille hui. El problema radica en la uniformidad del coseno. La iteración de $\phi=0$ produce un resultado incorrecto. De hecho, es incorrecta para $0 \le \phi \le \pi/6$. Qué hacer?

En el $k$th iteración, considerar el signo de $\phi-k \pi/6$:

$$f^{(k)}(\cos{\phi}) = \begin{cases}\cos{\left[\phi - (1-(-1)^k)\frac{\pi}{12} \right]} & 0 \le \phi \le k \frac{\pi}{6} \\ \cos{\left(\phi-k \frac{\pi}{6}\right)} & k \frac{\pi}{6} \lt \phi \le \pi \end{cases}$$

Repita el proceso para $k > 6$.